1 . 已知、分别为椭圆的右焦点和左顶点，，分别在椭圆上运动，点，分别在直线，上.
（1）若，求的值；
（2）记，若直线过点，求证：.

2 . 设圆圆心为坐标原点，半径为，圆在第一象限的圆弧上存在一点，作圆的切线与椭圆交于、两点，若，则椭圆的离心率为________

3 . 已知点是椭圆的左焦点，过原点作斜率存在且不为0的直线交椭圆于两点，分别是，的中点，若存在以为直径的圆过原点，则椭圆的离心率的范围是______.

4 . 已知椭圆：的上下顶点分别为，过点斜率为的直线与椭圆自上而下交于两点.

（1）证明：直线与的交点在定直线上；
（2）记和的面积分别为和，求的取值范围.

5 . 已知椭圆，过点，且该椭圆的短轴端点与两焦点，的张角为直角.
（1）求椭圆E的方程；
（2）过点且斜率大于0的直线与椭圆E相交于点P，Q，直线AP，AQ与y轴相交于M，N两点，求的取值范围.

6 . 已知椭圆的焦点的距离为，过且垂直于轴的直线交椭圆于两点，且.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若存在实数，使得经过相异两点和的直线交椭圆所得弦的中点恰为点，求实数的取值范围.

7 . 已知椭圆的离心率为，短轴的一个端点到右焦点的距离为2．

（1）求椭圆的方程；
（2）设分别为椭圆的左、右顶点，如图，过点分别作直线与，设直线交椭圆于另一点交椭圆于另一点，分别过和作椭圆的两条切线，且两条切线交于点，分别过和作椭圆的两条切线，且两条切线交于点．证明：点在直线上．

8 . 已知直线经过椭圆的右焦点，且交椭圆于两点椭圆的左焦点为，.
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线，交曲线于两点，且（为坐标原点），试求实数的取值范围.

9 . 已知椭圆的离心率，且经过点，是抛物线上一点，过点作抛物线的切线，与椭圆交于，两点．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线平分弦，求的取值范围．

10 . 已知的三个顶点都在椭圆上，且点在第一象限，点为的中点，．

（1）若，求点的坐标；
（2）的面积是否是常数，若是，请求出；若不是，请说明理由．