1 . 已知椭圆：（）的右焦点为，其离心率为，且过点．
(1)求的方程；
(2)过点且与轴不重合的直线与交于不同的两点，，求证：内切圆的圆心在定直线上．

2 . 已知椭圆上任意一点到两个焦点，的距离的和为4．经过点且不经过点的直线与椭圆C交于P，Q两点，直线与直线交于点E，直线与直线交于点N．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)求证：的面积为定值．

3 . 已知是椭圆的左焦点，上顶点B的坐标是，离心率为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)O为坐标原点，直线l过点且与椭圆相交于P，Q两点，过点作，与直线相交于点E，连接OE，与线段PQ相交于点M，求证：点M为线段PQ的中点.

4 . 已知椭圆，过点作椭圆的两条切线，且两切线垂直.
(1)求；
(2)已知点，若直线与椭圆交于，且以为直径的圆过点（不与重合），求证直线过定点，并求出定点.

5 . 已知椭圆：的左、右两个焦点分别为，，焦距为2，为椭圆上一点，且，.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点作与轴不重合的直线与椭圆相交于A，B两点，若直线交椭圆于点C，直线BC交轴于点M，求证：.

6 . 已知椭圆的上顶点为，右顶点为，其中的面积为1（为原点），椭圆离心率为．
(1)求椭圆的方程；
(2)若不经过点的直线与椭圆交于，两点，且，求证：直线过定点．

7 . 已知椭圆的长轴长是4，离心率为．
(1)求的方程；
(2)若点P是圆上的一动点，过点P作的两条切线分别交圆O于点A，B．
①求证：；
②求面积的取值范围．

8 . 已知圆和定点P是圆上任意一点，线段的垂直平分线交于点M，设动点M的轨迹为曲线E．
(1)求曲线E的方程；
(2)设，过的直线l交曲线E于M，N两点(点M在x轴上方)，设直线AM与BN的斜率分别为，求证：为定值．

9 . 已知椭圆的离心率为，过右焦点的直线与椭圆交于两点，且当轴时，.
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线的斜率存在且不为0，点在轴上的射影分别为，且三点共线，求证：与的面积相同.