1 . 已知椭圆，点是长轴上的一个动点，过点的直线与交于两点，与轴交于点，弦的中点为．当为的右焦点且的倾斜角为时，，重合，．
（1）求椭圆的方程；
（2）当均与原点不重合时，过点且垂直于的直线与轴交于点．求证：为定值．

2 . 已知椭圆中心在原点，焦点在轴上，且其焦点和短轴端点都在圆上.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）点是圆上一点，过点作圆的切线交椭圆于，两点，求的最大值.

3 . 如图，椭圆：与圆：相切，并且椭圆上动点与圆上动点间距离最大值为.

（1）求椭圆的方程；
（2）过点作两条互相垂直的直线，，与交于两点，与圆的另一交点为，求面积的最大值，并求取得最大值时直线的方程.

4 . 已知椭圆的一个焦点是，且离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）设经过点的直线交椭圆于，两点，线段的垂直平分线交轴于点，求 的取值范围.

5 . 已知斜率为1的直线l过椭圆的右焦点F交椭圆于A、B两点，
求焦点F的坐标及其离心率 
求弦AB的长．

6 . 已知平面内两个定点，过动点M作直线AB的垂线，垂足为N，且.
(1)求点M的轨迹曲线E的方程；
(2)若直线与曲线E有交点，求实数k的取值范围.

7 . 椭圆的两个焦点坐标分别为F₁(－，0)和F₂(，0)，且椭圆过点
(1)求椭圆方程；
(2)过点作不与y轴垂直的直线l交该椭圆于M，N两点，A为椭圆的左顶点,证明．

8 . 已知，分别为椭圆C:的左、右焦点，点在椭圆C上．
（1）求的最小值；
（2）已知直线l：与椭圆C交于两点A、B，过点且平行于直线l的直线交椭圆C于另一点Q，问：四边形PABQ能否成为平行四边形？若能，请求出直线l的方程；若不能，请说明理由．

9 . 已知椭圆左顶点为，上顶点为，直线的斜率为．
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）直线与椭圆交于两点，与轴交于点，以线段为对角线作正方形，若．
（i）求椭圆方程；
（ii）若点在直线上，且满足，求使得最长时，直线的方程．

10 . 已知椭圆的离心率为，其中左焦点．
（1）求椭圆的方程．
（2）若直线与椭圆交于不同的两点，，且线段的中点在圆上，求的值．