1 . 椭圆的离心率为，长轴长为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）直线与圆相切于点M，交于两点A，B，试问：是否为定值？如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由.

3 . 已知椭圆的两个焦点坐标分别是，，并且经过点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线与椭圆交于､两点，求中点的坐标．

4 . 已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，且椭圆的离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）椭圆上是否存在关于直线对称的两点､，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.

5 . 在平面直角坐标系中，已知点到两点的距离之和等于，设点的轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程.
（2）若直线与曲线有公共点，求实数的取值范围.

6 . 已知椭圆过点，离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）已知定点，若直线与椭圆相交于、两点，试判断是否存在实数，使以为直径的圆过定点？若存在求出这个值，若不存在说明理由.

7 . 已知椭圆，曲线，点是和的公共点，且两曲线有公共焦点F.
（1）求，的方程；
（2）若为上动点，过点Q作曲线的切线l交椭圆于M，N，求(O为坐标原点)的面积S的取值范围.

8 . 法国数学家加斯帕尔·蒙日是19世纪著名的几何学家，他创立了画法几何学，推动了空间解析几何学的独立发展，奠定了空间微分几何学的宽厚基础.根据他的研究成果，我们定义：给定椭圆，则称圆心在原点，半径是的圆为“椭圆的伴随圆”，已知椭圆的一个焦点为，其短轴的一个端点到焦点的距离为.

（1）求椭圆和其“伴随圆”的方程；
（2）若点是椭圆的“伴随圆”与轴正半轴的交点，是椭圆上的两相异点，且轴，求的取值范围；
（3）在椭圆的“伴随圆”上任取一点，过点作直线､，使得､与椭圆都只有一个交点，试判断､是否垂直?并说明理由.

9 . 已知椭圆Γ ：的左、右焦点分别为F₁(－1，0)，F₂(1，0).经过点F₁且倾斜角为的直线l与椭圆Γ交于A，B两点（其中点A在x轴上方），△ABF₂的周长为8.

（1）求椭圆 Γ 的标准方程；
（2）如图，将平面xOy沿x轴折叠，使y轴正半轴和x轴所确定的半平面（平面AF₁F₂）与y轴负半轴和x轴所确定的半平面（平面BF₁F₂）互相垂直.
①若，求异面直线AF₁和BF₂所成角的余弦值；
②是否存在，使得折叠后△ABF₂的周长为？若存在，求的值；若不存在，说明理由.

10 . 已知椭圆的左、右焦点为，，P是椭圆上的点，当点P在椭圆上运动时，面积的最大值为4，当轴时，面积为．

（1）求椭圆C的标准方程；
（2）如图，若直线、交椭圆另一点分别是A、B，点P不在x轴上，且，求点P的坐标．