1 . 已知椭圆：的离心率为，且经过点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点作直线与椭圆相交与，两点，试问在轴上是否存在定点，使得两条不同直线，恰好关于轴对称，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由.

2 . “工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长.某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用一张圆形纸片，按如下步骤折纸（如图）

步骤1：设圆心是，在圆内异于圆心处取一点，标记为；
步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点；
步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕；
步骤4：不断重复步骤2和3，就能得到越来越多的折痕.则这些折痕所围成的图形是一个椭圆.
现取半径为的圆形纸片，定点到圆心的距离为，按上述方法折纸.以向量的方向为轴正方向，线段中点为原点建立平面直角坐标系.
(1)求折痕围成的椭圆的标准方程；
(2)已知点是圆上任意一点，过点做椭圆的两条切线，切点分别是，求面积的最大值，并确定此时点的坐标.
注：椭圆：上任意一点处的切线方程是：.

3 . 已知椭圆：的上顶点和右焦点都在直线上.
(1)求的标准方程；
(2)已知直线与交于，两点，，，求的值.

4 . 已知离心率为的椭圆，其焦距为.
(1)求此椭圆的方程；
(2)已知直线与椭圆交于两点，若以线段为直径的圆过点，求的值.

5 . 已知椭圆的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，且椭圆E过，直线与椭圆E交于A、B．

(1)求椭圆E的标准方程；
(2)设直线TA、TB的斜率分别为，，证明：；
(3)直线是过点T的椭圆E的切线，且与直线l交于点P，定义为椭圆E的弦切角，为弦TB对应的椭圆周角，探究椭圆E的弦切角与弦TB对应的椭圆周角的关系，并证明你的论．

6 . 已知椭圆的焦点在轴上，它的离心率为，且经过点.
(1)求椭圆的方程；
(2)若椭圆的左焦点为，过点的直线与椭圆交于，两点，且过点，和点的圆的圆心在轴上，求直线的方程及此圆的圆心坐标.

7 . 如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转 一周形成的曲面）的一部分，过对称轴的截口BAC是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点上，片门位于另一个焦点上.由椭圆一个焦点F₁发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点.已知 ，，.

   

(1)如图建立平面直角坐标系，求截口所在的椭圆的方程；
(2)写出与（1）中所求形状相同，焦点在y轴上的椭圆G的方程（直接写出，不需要写过程）；
(3)设过点的直线l与椭圆G交于不同的两点M，N，且M，N与坐标原点O构成三角形，求面积的最大值.

8 . 已知圆经过椭圆的左焦点和上顶点．
(1)求椭圆的方程；
(2)直线与椭圆交于两点，若，求的值．

9 . 已知椭圆的长轴长是，焦点坐标分别是，.
(1)求这个椭圆的标准方程及离心率；
(2)如果直线与这个椭圆交于两不同的点，求的取值范围.

10 . 在平面直角坐标系中，已知椭圆的左、右焦点为，离心率为．过点作直线与椭圆相交于点．若是椭圆的短轴端点时，．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)试判断是否存在，使得成等差数列？若存在，求出直线的方程：若不存在，说明理由．