2024高三·全国·专题练习
1 . 画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔・蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常称这个圆为蒙日圆．已知椭圆
的离心率为
分别为椭圆的左、右焦点，
为椭圆上两个动点，直线
的方程为
，下列说法正确的是（ ）
的离心率为分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上两个动点，直线的方程为，下列说法正确的是（ ）A． 的蒙日圆的方程为 |
B．对直线上任意一点 ， |
C．过点 作的垂线，垂足为 ，则 的最小值为 |
D．若矩形 的四条边均与相切，则矩形面积的最大值为 |
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2 . 由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”．如果椭圆
的“特征三角形”为
，椭圆
的“特征三角形”为
，若
，则称椭圆与“相似”，并将与的相似比称为椭圆与的相似比．已知椭圆：
与椭圆：
相似．
(1)求椭圆的离心率；
(2)若椭圆与椭圆的相似比为
，设为上异于其左、右顶点
，
的一点．
①当
时，过分别作椭圆的两条切线
，
，切点分别为
，
，设直线，的斜率为
，
，证明：
为定值；
②当
时，若直线
与交于
，
两点，直线
与交于
，
两点，求
的值．
的“特征三角形”为，椭圆的“特征三角形”为，若，则称椭圆与“相似”，并将与的相似比称为椭圆与的相似比．已知椭圆：与椭圆：相似．(1)求椭圆
的离心率；(2)若椭圆
与椭圆的相似比为，设为上异于其左、右顶点，的一点．①当
时，过分别作椭圆的两条切线，，切点分别为，，设直线，的斜率为，，证明：为定值；②当
时，若直线与交于，两点，直线与交于，两点，求的值．
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2024-03-29更新
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952次组卷
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3卷引用：河北省石家庄市七县联考2023-2024学年高二下学期3月月考数学试题
名校
3 . 画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔•蒙日发现：在椭圆中，任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是椭圆的中心，半径等于长､短半轴的平方和的算术平方根，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆
，则其蒙日圆方程为__________ ，若为蒙日圆上一个动点，过点作椭圆的两条切线，与蒙日圆分别交于､
两点，则
面积的最大值为__________ .
，则其蒙日圆方程为为蒙日圆上一个动点，过点作椭圆的两条切线，与蒙日圆分别交于､两点，则面积的最大值为
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解题方法
4 . 2022年4月16日9时56分，神舟十三号返回舱成功着陆，返回舱是宇航员返回地球的座舱，返回舱的轴截面可近似看作是由半圆和半椭圆组成的“曲圆”.如图，在平面直角坐标系中半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的焦点
，椭圆的短轴与半圆的直径重合，下半圆与
轴交于点
.若过原点
的直线与上半椭圆交于点，与下半圆交于点，则下列说法正确的个数有：（ ）
①椭圆的长轴长为4
②线段
长度的取值范围是
③
面积的最小值是3
④
的周长为
，椭圆的短轴与半圆的直径重合，下半圆与轴交于点.若过原点的直线与上半椭圆交于点，与下半圆交于点，则下列说法正确的个数有：（ ）①椭圆的长轴长为4
②线段
长度的取值范围是③
面积的最小值是3④
的周长为| A．1 | B．2 | C．3 | D．4 |
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名校
解题方法
5 . 法国著名数学家加斯帕尔·蒙日在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点
的轨迹是以坐标原点为圆心，
为半径的圆，这个圆称为蒙日圆.若矩形的四边均与椭圆
相切，则下列说法正确的是（ ）
的轨迹是以坐标原点为圆心，为半径的圆，这个圆称为蒙日圆.若矩形的四边均与椭圆相切，则下列说法正确的是（ ）A．椭圆的蒙日圆方程为 |
B．若为正方形，则的边长为 |
C．若是直线： 上的一点，过点作椭圆的两条切线与椭圆相切于，两点，是坐标原点，连接 ，当 为直角时， 或 |
D．若是椭圆蒙日圆上一个动点，过作椭圆的两条切线，与该蒙日圆分别交于，两点，则 面积的最大值为18 |
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2023-12-24更新
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220次组卷
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3卷引用：山东省新泰市第一中学东校2023-2024学年高二上学期第二次质量检测数学试题
名校
6 . 彗星“紫金山一号”是南京紫金山天文台发现的，它的运行轨道是以太阳为一个焦点的椭圆．测得轨道的近日点（距离太阳最近的点）距太阳中心1.486天文单位，远日点（距离太阳最远的点）距太阳中心5.563天文单位，且近日点、远日点及太阳中心在同一条直线上，则该椭圆的短半轴长度为（ ）天文单位．
A． | B． | C． | D． |
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7 . 画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆
，
，
分别为椭圆的左、右焦点，直线的方程为
，为椭圆的蒙日圆上一动点，
，
分别与椭圆相切于A，两点，为坐标原点，下列说法正确的是（ ）
，，分别为椭圆的左、右焦点，直线的方程为，为椭圆的蒙日圆上一动点，，分别与椭圆相切于A，两点，为坐标原点，下列说法正确的是（ ）A．椭圆的蒙日圆方程为 |
B．记点A到直线的距离为 ，则 的最小值为0 |
C．一矩形四条边与椭圆相切，则此矩形面积最大值为 |
D． 的面积的最大值为 |
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2023-12-05更新
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510次组卷
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2卷引用：广东省广州市华南师范大学附属中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题
名校
解题方法
8 . 已知平面内的动点M的轨迹是阿波罗尼斯圆（动点M与两定点A，B的距离之比
（
，
，且
是一个常数），其方程为，定点分别为椭圆
的右焦点F与右顶点A，且椭圆C的长轴长为
.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设椭圆C的左焦点为E，过点A作直线l交圆于点S，T，求
面积的最大值.
（，，且是一个常数），其方程为，定点分别为椭圆的右焦点F与右顶点A，且椭圆C的长轴长为.(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设椭圆C的左焦点为E，过点A作直线l交圆
于点S，T，求面积的最大值.
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2023-12-02更新
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153次组卷
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2卷引用：广东省东莞市东华高级中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试卷
名校
9 . 画法几何的创始人——法国数学家蒙日发现：在椭圆:
中，任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是椭圆的中心，半径等于长、短半轴平方和的算术平方根，这个圆就称为椭圆的蒙日圆，其圆方程为
.已知椭圆的离心率为
，点均在椭圆上，直线：
，则下列描述正确的为（ ）
:中，任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是椭圆的中心，半径等于长、短半轴平方和的算术平方根，这个圆就称为椭圆的蒙日圆，其圆方程为.已知椭圆的离心率为，点均在椭圆上，直线：，则下列描述正确的为（ ）A．点与椭圆的蒙日圆上任意一点的距离最小值为 |
B．若上恰有一点满足：过作椭圆的两条切线互相垂直，则椭圆的方程为 |
C．若上任意一点都满足 ，则 |
D．若 ，椭圆的蒙日圆上存在点满足 ，则 面积的最大值为 |
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2023-11-22更新
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532次组卷
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2卷引用：浙江省A9协作体2023-2024学年高二上学期期中联考数学试题
名校
解题方法
10 . 加斯帕尔
蒙日是
世纪法国著名的几何学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”（如图所示）.当椭圆方程为时，蒙日圆方程为.已知长方形的四边均与椭圆
相切，则下列说法错误的是（ ）
蒙日是世纪法国著名的几何学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”（如图所示）.当椭圆方程为时，蒙日圆方程为.已知长方形的四边均与椭圆相切，则下列说法错误的是（ ）A．椭圆的离心率为 |
B．若为正方形，则的边长为 |
C．椭圆的蒙日圆方程为 |
D．长方形的面积的最大值为 |
您最近一年使用：0次
2023-11-16更新
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278次组卷
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2卷引用：河北省保定市六校2023-2024学年高二上学期期中联考数学试题
