解题方法
1 . 已知双曲线
上有三点
，且
的中点分别为
，设直线
的斜率都存在，分别记为
，且
，直线的斜率都存在，分别记为
，
（1）求证
；
（2）类比（1）中结论，写出椭圆
中类似的结论，并证明.
上有三点，且的中点分别为，设直线的斜率都存在，分别记为，且，直线的斜率都存在，分别记为，（1）求证
；（2）类比（1）中结论，写出椭圆
中类似的结论，并证明.
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解题方法
2 . 已知双曲线
的左、右焦点分别为
，过
作直线
交双曲线右支于
两点，当直线与
轴垂直时，
．过作直线
分别交双曲线两支于
两点，且
的最小值为
．
(1)求双曲线
的方程；
(2)设线段
的中点分别为
，记
的面积为
，
的面积为
（
为双曲线的中心），若直线
的斜率分别为
且
，求证：
为定值，并求出这个定值．
的左、右焦点分别为，过作直线交双曲线右支于两点，当直线与轴垂直时，．过作直线分别交双曲线两支于两点，且的最小值为．(1)求双曲线
的方程；(2)设线段
的中点分别为，记的面积为，的面积为（为双曲线的中心），若直线的斜率分别为且，求证：为定值，并求出这个定值．
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解题方法
3 . 已知双曲线
的实轴长为2，顶点到渐近线的距离为
.
(1)求双曲线
的标准方程；
(2)若直线
与的右支及渐近线的交点自上而下依次为
，证明：
；
(3)求二元二次方程
的正整数解
，可先找到初始解
，其中
为所有解
中的最小值，因为
，所以
；因为
，所以
；重复上述过程，因为
与
的展开式中，不含
的部分相等，含的部分互为相反数，故可设
，所以
.若方程的正整数解为，则
的面积是否为定值？若是，请求出该定值，并说明理由.
的实轴长为2，顶点到渐近线的距离为.(1)求双曲线
的标准方程；(2)若直线
与的右支及渐近线的交点自上而下依次为，证明：；(3)求二元二次方程
的正整数解，可先找到初始解，其中为所有解中的最小值，因为，所以；因为，所以；重复上述过程，因为与的展开式中，不含的部分相等，含的部分互为相反数，故可设，所以.若方程的正整数解为，则的面积是否为定值？若是，请求出该定值，并说明理由.
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4 . 已知双曲线
的左、右焦点分别为，点
在双曲线M上，且
．
(1)求双曲线M的方程；
(2)记
的平分线所在的直线为直线l，证明：双曲线M上存在相异两点
关于直线l对称，并求出
（E为
的中点）的值．
的左、右焦点分别为，点在双曲线M上，且．(1)求双曲线M的方程；
(2)记
的平分线所在的直线为直线l，证明：双曲线M上存在相异两点关于直线l对称，并求出（E为的中点）的值．
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解题方法
5 . 已知双曲线
的右焦点
，离心率为
，过F的直线交于点两点，过
与垂直的直线交于
两点.
(1)当直线的倾斜角为
时，求由
四点围成的四边形的面积；
(2)直线
分别交于点，若
为
的中点，证明：
为
的中点.
的右焦点，离心率为，过F的直线交于点两点，过与垂直的直线交于两点.(1)当直线
的倾斜角为时，求由四点围成的四边形的面积；(2)直线
分别交于点，若为的中点，证明：为的中点.
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2024-04-08更新
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952次组卷
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4卷引用：安徽省池州市普通高中2024届高三教学质量统一监测数学试题
6 . 已知
是双曲线的右焦点，过点F的直线与E交于两点（不同于E的顶点），当直线过点
时，C恰为的中点．
(1)求E的方程；
(2)设分别为E的左、右顶点，
与
交于点
与
交于点Q，若D为
的中点，证明
为定值，并求出该定值．
是双曲线的右焦点，过点F的直线与E交于两点（不同于E的顶点），当直线过点时，C恰为的中点．(1)求E的方程；
(2)设
分别为E的左、右顶点，与交于点与交于点Q，若D为的中点，证明为定值，并求出该定值．
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解题方法
7 . 是坐标平面内一个动点，
与直线
垂直，垂足
位于第一象限，
与直线
垂直，垂足
位于第四象限.若四边形
（为坐标原点）的面积为6.
(1)求动点的轨迹方程；
(2)如图所示，斜率为
且过
的直线与曲线交于
两点，点为线段
的中点，射线
与曲线交于点，与直线
交于点.证明：
成等比数列.
是坐标平面内一个动点，与直线垂直，垂足位于第一象限，与直线垂直，垂足位于第四象限.若四边形（为坐标原点）的面积为6. (1)求动点
的轨迹方程；(2)如图所示，斜率为
且过的直线与曲线交于两点，点为线段的中点，射线与曲线交于点，与直线交于点.证明：成等比数列.
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解题方法
8 . 已知双曲线 
与双曲线 
的渐近线相同，且M经过点 
，N的焦距为 4.
(1)求M和N 的方程;
(2)如图，过点
的直线(斜率大于0)与双曲线 M和N 左、右两支依次相交于点 A，B，C，D，证明:
.
与双曲线 的渐近线相同，且M经过点 ，N的焦距为 4.(1)求M和N 的方程;
(2)如图，过点
的直线(斜率大于0)与双曲线 M和N 左、右两支依次相交于点 A，B，C，D，证明:.
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2024-03-19更新
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220次组卷
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2卷引用：青海省海南州贵德高级中学2024届高三七模（开学考试）数学（理科）试题
9 . 已知双曲线的左、右焦点分别为
，，的一条渐近线的倾斜角为
，直线
与轴的交点为
，且
.
(1)求的方程；
(2)过点作斜率为
的直线与交于，两点，为线段的中点，过点且与垂直的直线交轴于点，求证：
为定值.
的左、右焦点分别为，，的一条渐近线的倾斜角为，直线与轴的交点为，且.(1)求
的方程；(2)过点
作斜率为的直线与交于，两点，为线段的中点，过点且与垂直的直线交轴于点，求证：为定值.
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2024-02-03更新
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553次组卷
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3卷引用：2024年普通高等学校招生全国统一考试数学模拟试题（二）
2024高三·全国·专题练习
10 . 已知O为坐标原点，P，Q是双曲线
上的两个动点．
(1)若点P，Q在双曲线E的右支上且直线PQ的斜率为2，点T在双曲线E的左支上且
，
，求双曲线E的渐近线方程；
(2)若
，
，
成等比数列，
，证明直线PQ与定圆相切．
上的两个动点．(1)若点P，Q在双曲线E的右支上且直线PQ的斜率为2，点T在双曲线E的左支上且
，，求双曲线E的渐近线方程；(2)若
，，成等比数列，，证明直线PQ与定圆相切．
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