1 . 已知为抛物线上的两点，是边长为的等边三角形，其中为坐标原点.
(1)求的方程.
(2)已知圆的两条切线，且与分别交于点和.
（i）证明：为定值.
（ii）求的最小值.

2 . 已知抛物线是上不同的三点，过三点的三条切线分别两两交于点，则称三角形为抛物线的外切三角形．

(1)当点的坐标为为坐标原点，且时，求点的坐标；
(2)设外切三角形的垂心为，试判断是否在定直线上，若是，求出该定直线；若不是，请说明理由；
(3)证明：三角形与外切三角形的面积之比为定值．

3 . 已知过点的直线与抛物线：相交于、两点，直线：是线段的中垂线，且与的交点为，则下列说法正确的是（       ）

A．为定值	B．为定值
C．且	D．

4 . 已知O为抛物线的顶点，直线l交抛物线于M，N两点，过点M，N分别向准线作垂线，垂足分别为P，Q，则下列说法正确的是（       ）

A．若直线l过焦点F，则N，O，P三点不共线

B．若直线l过焦点F，则

C．若直线l过焦点F，则抛物线C在M，N处的两条切线的交点在某定直线上

D．若，则直线l恒过点

5 . 已知抛物线，过点作不与x轴垂直的直线，分别与抛物线C交于M，N和P、Q两点.
(1)若M，N两点的纵坐标之和为-6，求直线l的斜率；
(2)证明：；
(3)若点E为线段MN的中点，点G为线段PQ的中点，求的值.
注：k表示直线的斜率.

6 . 已知抛物线与双曲线相交于两点是的右焦点，直线分别交于（不同于点），直线分别交轴于两点.
(1)设，求证：是定值；
(2)求的取值范围.

7 . 2022年12月4日20点10分，神舟十四号返回舱顺利着陆，人们清楚全面地看到了神舟十四号返回舱成功着陆的直播盛况.根据搜救和直播的需要，在预设着陆场的某个平面内设置了两个固定拍摄机位和一个移动拍摄机位.根据当时气候与地理特征，点在拋物线（直线与地平线重合，轴垂直于水平面.单位：十米，下同.的横坐标）上，的坐标为.设，线段，分别交于点，，在线段上.则两固定机位，的距离为（       ）

A．

B．

C．

D．

8 . 抛物线的弦与在弦两端点处的切线所围成的三角形被称为“阿基米德三角形”．对于抛物线C：给出如下三个条件：①焦点为；②准线为；③与直线相交所得弦长为2．
(1)从以上三个条件中选择一个，求抛物线C的方程；
(2)已知是（1）中抛物线的“阿基米德三角形”，点Q是抛物线C在弦AB两端点处的两条切线的交点，若点Q恰在此抛物线的准线上，试判断直线AB是否过定点？如果是，求出定点坐标；如果不是，请说明理由．

9 . 过直线上一点作拋物线的两条切线，设切点分别为，记是线段的中点，则（       ）

A．直线经过该抛物线的焦点

B．直线轴

C．线段的中点在该抛物线上

D．以线段为直径的圆与抛物线的准线相交

10 . 已知抛物线与椭圆存在相同的焦点，第一象限内曲线上的一点到其焦点的距离为2，直线与相交于两点（不与点重合），直线，关于直线对称.
(1)求证：直线的斜率为定值；
(2)若椭圆上存在不同的两点关于直线对称，求原点到直线距离的取值范围.