1 . 如图，已知椭圆的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点为顶点的三角形的周长为.一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设为该双曲线上异于顶点的任一点，直线和与椭圆的交点分别为和.

(1)求椭圆和双曲线的标准方程；
(2)是否存在常数，使得恒成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.

2 . 已知椭圆经过点，且焦距为2．
(1)求椭圆的方程；
(2)椭圆的左、右焦点分别为，，若，，，四点都在椭圆上，直线与交于点，且直线，分别过点，．
①若直线和的斜率存在且分别为，，求证：为定值；
②求四边形面积的最大值．

3 . 已知椭圆的左、右顶点分别为，长轴长为4，离心率为，点C在椭圆E上且异于两点，分别为直线上的点．
(1)求椭圆E的方程；
(2)求的值；
(3)设直线与椭圆E的另一个交点为D，证明：直线过定点．

4 . 已知椭圆的离心率为，点在上.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)已知动直线过曲线的左焦点，且与椭圆分别交于，两点，试问轴上是否存在定点，使得为定值？若存在，求出该定点坐标；若不存在，请说明理由.

5 . 已知椭圆的离心率是，左､右顶点分别为，过线段上的点的直线与交于两点，且与的面积比为.
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线与交于点.证明：点在定直线上.

6 . 已知椭圆C：（）的离心率为，且过点．直线与椭圆C相切于点P（P在第一象限），直线与椭圆C相交于A，B两点，O为坐标原点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设直线OP的斜率为，求证：为定值；
(3)求△PAB面积的最大值．

7 . 设分别为椭圆的左､右焦点，是椭圆短轴的一个顶点，已知的面积为.如图，是椭圆上不重合的三个点，原点是的重心.

(1)求椭圆的方程；
(2)求点到直线的距离的最大值；
(3)判断的面积是否为定值，并说明理由.

8 . 已知椭圆分别为椭圆的左顶点和右焦点，过作斜率不为的直线交椭圆于点，两点，且.当直线轴时，.

(1)求椭圆的方程；
(2)设直线的斜率分别为，问是否为定值?并证明你的结论；
(3)直线交轴于点，若过点作直线的平行线交椭圆于点，求的最小值.

9 . 已知分别为椭圆的左、右焦点，直线与椭圆相交于A，B两点，且．
(1)求粗圆的方程；
(2)为坐标原点，若直线与椭圆交于M，N两点，直线OM的斜率为，直线ON的斜率为，当时，面积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

10 . 已知椭圆的左、右焦点分别为，直线与椭圆交于两点(点在点的上方)，与轴交于点.
(1)当时，点为椭圆上除顶点外任一点，求的周长;
(2)当且直线过点时，设，求证:为定值，并求出该值;
(3)若椭圆的离心率为，当为何值时，恒为定值;并求此时面积的最大值.