1 . 已知圆：，椭圆：的离心率为，且过点，圆上任意一点P处的切线交椭圆于M，N两点，
（1）求椭圆的方程；
（2）试判断是否为定值？若为定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由.

2 . 已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，且离心率为．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）不过原点的直线与椭圆C交于M，N两点，若三直线OM．、ON的斜率与，，点成等比数列，求直线的斜率及的值．

3 . 设椭圆：的左，右焦点分别为，，其离心率为，过的直线与交于，两点，且的周长为.
（1）求椭圆的方程；
（2）设椭圆的上顶点为，证明：当的斜率为时，点在以为直径的圆上.

4 . 在平面直角坐标系中，已知椭圆的焦距为2，离心率为，椭圆的右顶点为．

（1）求该椭圆的方程；
（2）过点作直线交椭圆于两个不同点，，求证：直线，的斜率之和为定值．

5 . 已知椭圆的离心率为，其右顶点为，下顶点为，定点，的面积为，过点作与轴不重合的直线交椭圆于两点，直线分别与轴交于两点.

（1）求椭圆的方程；
（2）试探究的横坐标的乘积是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.

6 . 已知椭圆的四个顶点围成的菱形的面积为，椭圆的一个焦点为.
（1）求椭圆的方程；
（2）若，为椭圆上的两个动点，直线，的斜率分别为，，当时，的面积是否为定值？若为定值，求出此定值；若不为定值，说明理由.

7 . 已知在上任意一点处的切线为，若过右焦点的直线交椭圆于两点，已知在点处切线相交于.
（1）求点的轨迹方程；
（2）①若过点且与直线垂直的直线（斜率存在且不为零）交椭圆于两点，证明为定值.
②四边形的面积是否有最小值，若有请求出最小值；若没有请说明理由.

8 . 已知椭圆的两个焦点均在以原点为圆心，短半轴长为半径的圆上，且该圆截直线所得的弦长为.
（1）求椭圆的标准方程.
（2）已知直线与椭圆的两个交点为，，点的坐标为.问：的值是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，试说明理由.

9 . 椭圆的方程为，为椭圆的短轴端点，为椭圆上除外一点，且直线斜率积为，直线与圆相切，且与椭圆交于两点.
（1）求椭圆的方程；
（2）证明为定值.

10 . 已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，P是椭圆上一动点（与左、右顶点不重合）．已知PF₁F₂的面积的最大值为，椭圆C的离心率为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过F₂的直线l交椭圆C于A，B两点，过A作x轴的垂线交椭圆C与另一点Q（Q不与A，B重合）．设ABQ的外心为G，求证为定值．