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1 . 已知双曲线左右焦点分别为,,点在双曲线上,且点到双曲线两条渐近线的距离乘积为,过分别作两条斜率存在且互相垂直的直线,,已知与双曲线左支交于,两点,与左右两支分别交于,两点.
(1)求双曲线的方程;
(2)若线段,的中点分别为,,求证:直线恒过定点,并求出该定点坐标.
(1)求双曲线的方程;
(2)若线段,的中点分别为,,求证:直线恒过定点,并求出该定点坐标.
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1713次组卷
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3卷引用:浙江省天域全国名校协作体2023-2024学年高三二模数学试题
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2 . 已知双曲线的焦距为,点在上.
(1)求的方程;
(2)直线与的右支交于,两点,点与点关于轴对称,点在轴上的投影为点.
(ⅰ)求的取值范围;
(ⅱ)求证:直线过点.
(1)求的方程;
(2)直线与的右支交于,两点,点与点关于轴对称,点在轴上的投影为点.
(ⅰ)求的取值范围;
(ⅱ)求证:直线过点.
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3 . 已知双曲线的离心率为,点是上一点.
(1)求的方程;
(2)设是直线上的动点,分别是的左、右顶点,且直线分别与的右支交于两点(均异于点),证明:直线过定点.
(1)求的方程;
(2)设是直线上的动点,分别是的左、右顶点,且直线分别与的右支交于两点(均异于点),证明:直线过定点.
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4 . 已知双曲线:的离心率为,其左、右焦点分别为,,过焦点且与轴垂直的直线交于,两点,且.
(1)求的方程;
(2)已知在上一点处的切线方程为.过点分别作的左、右两支的切线,切点分别为,,连接,过线段的中点再分别作的左、右两支的切线,切点分别为,,判断点与直线的位置关系,并说明理由.
(1)求的方程;
(2)已知在上一点处的切线方程为.过点分别作的左、右两支的切线,切点分别为,,连接,过线段的中点再分别作的左、右两支的切线,切点分别为,,判断点与直线的位置关系,并说明理由.
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5 . 已知圆M:的圆心为M,圆N:的圆心为N,一动圆与圆N内切,与圆M外切,动圆的圆心E的轨迹为曲线C.
(1)证明:曲线C为双曲线的一支;
(2)已知点,不经过点的直线与曲线C交于A,B两点,且.直线是否过定点?若过定点,求出定点坐标:若不过定点,请说明理由.
(1)证明:曲线C为双曲线的一支;
(2)已知点,不经过点的直线与曲线C交于A,B两点,且.直线是否过定点?若过定点,求出定点坐标:若不过定点,请说明理由.
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6 . 已知平面直角坐标系中,有真命题:函数的图象是双曲线,其渐近线分别为直线和y轴.例如双曲线的渐近线分别为x轴和y轴,可将其图象绕原点顺时针旋转得到双曲线的图象.
(1)求双曲线的离心率;
(2)已知曲线,过上一点作切线分别交两条渐近线于两点,试探究面积是否为定值,若是,则求出该定值;若不是,则说明理由;
(3)已知函数的图象为Γ,直线,过的直线与Γ在第一象限交于两点,过作的垂线,垂足分别为,直线交于点,求面积的最小值.
(1)求双曲线的离心率;
(2)已知曲线,过上一点作切线分别交两条渐近线于两点,试探究面积是否为定值,若是,则求出该定值;若不是,则说明理由;
(3)已知函数的图象为Γ,直线,过的直线与Γ在第一象限交于两点,过作的垂线,垂足分别为,直线交于点,求面积的最小值.
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2024·全国·模拟预测
7 . 已知双曲线过点(其中),且双曲线上的点到其两条渐近线的距离之积为.
(1)求双曲线的标准方程;
(2)记为坐标原点,双曲线的左、右顶点分别为为双曲线上一动点(异于顶点),为线段的中点,为直线上一点,且,过点作于点,求面积的最大值.
(1)求双曲线的标准方程;
(2)记为坐标原点,双曲线的左、右顶点分别为为双曲线上一动点(异于顶点),为线段的中点,为直线上一点,且,过点作于点,求面积的最大值.
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2024·全国·模拟预测
8 . 在平面直角坐标系xOy中,已知圆A:,点,点P为圆A上任意一点,线段BP的垂直平分线和半径AP所在直线相交于点Q,当点P在圆上运动时,点Q的轨迹为C.
(1)求C的方程.
(2)斜率存在且不为0的直线l与C交于M,N两点,点D在C上.从下面①②③中任选两个作为已知条件,证明另外一个成立.
①轴;②直线l经过点;③D,B,N三点共线.
注:若选择不同的组合分别解答,则按第一个解答计分.
(1)求C的方程.
(2)斜率存在且不为0的直线l与C交于M,N两点,点D在C上.从下面①②③中任选两个作为已知条件,证明另外一个成立.
①轴;②直线l经过点;③D,B,N三点共线.
注:若选择不同的组合分别解答,则按第一个解答计分.
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9 . 已知A,B分别为双曲线的左,右顶点,四点中恰有三点在双曲线E上.若P为直线上的动点,与E的另一交点为与E的另一交点为D.
(1)求双曲线E的方程;
(2)若,求直线的方程;
(3)过点B作于点Q,是否存在定点G,使得为定值.
(1)求双曲线E的方程;
(2)若,求直线的方程;
(3)过点B作于点Q,是否存在定点G,使得为定值.
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10 . 已知直线与曲线.
(1)若与交于,两点,点,直线与的斜率之积为1,证明:直线过定点;
(2)若与相切于点,过点且与垂直的直线分别交轴、轴于,两点,求的最小值.
(1)若与交于,两点,点,直线与的斜率之积为1,证明:直线过定点;
(2)若与相切于点,过点且与垂直的直线分别交轴、轴于,两点,求的最小值.
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