2 . 对每个正整数是抛物线上的点，过焦点的直线交抛物线于另一点．
(1)证明：；
(2)取，并记，求数列的前项和．

3 . 已知抛物线的焦点为，过点倾斜角为的直线交抛物线与两点.点在轴上方，点在轴下方.

(1)求证：；
(2)若，试求的取值范围；
(3)如图，过焦点作互相垂直的弦，若与的面积之和最小值为32，求抛物线的方程.

4 . 设抛物线：的焦点为F，经过x轴正半轴上点的直线l交于不同的两点A和B．

(1)若，求A点的坐标；
(2)若，求的值；
(3)若，且直线，与有且只有一个公共点E，问：的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值，并求出M点的坐标；若不存在，请说明理由（三角形面积公式：在中，设，，则的面积为）．

5 . 在平面直角坐标系中，一动圆经过点且与直线相切，设该动圆圆心的轨迹为曲线．
(1)求曲线的方程；
(2)过点作两条互相垂直的直线，直线与交于A，B两点，直线与交于D，E两点，的最小值；
(3)为曲线上一点，且的横坐标大于4．过作圆的两条切线，分别交轴于点、，求三角形面积的取值范围.

6 . 已知为抛物线的焦点，过点的直线与抛物线交于不同的两点，，抛物线在点，处的切线分别为和，若和交于点.
(1)求证点P在一条定直线上.
(2)求的最小值．

7 . 已知抛物线C：，F为抛物线C的焦点，是抛物线C上点，且；
(1)求抛物线C的方程；
(2)过平面上一动点作抛物线C的两条切线PA，PB（其中A，B为切点），求的最大值.

8 . 在平面直角坐标系中，一动圆经过点且与直线相切，设该动圆圆心的轨迹为曲线K，P是曲线K上一点.
(1)求曲线K的方程；
(2)过点A且斜率为k的直线l与曲线K交于B､C两点，若且直线OP与直线交于Q点.求的值；
(3)若点D､E在y轴上，的内切圆的方程为，求面积的最小值.

9 . 设抛物线：的焦点为，抛物线上一点的横坐标为，过点作抛物线的切线，与轴交于点，与轴交于点，与直线：交于点.当时，.
(1)证明：为等腰三角形，并求抛物线的方程；
(2)若为轴左侧抛物线上一点，过作抛物线的切线，与直线交于点，与直线交于点，求面积的最小值，并求取到最小值时的值.

10 . 已知抛物线C：，直线l经过点，且与抛物线C交于M，N两点，其中.
(1)若，且，求点M的坐标；
(2)是否存在正数m，使得以MN为直径的圆经过坐标原点O，若存在，请求出正数m，若不存在，请说明理由.