1 . 在平面直角坐标系中，P，Q是抛物线上两点（异于点O），过点P且与C相切的直线l交x轴于点M，且直线与l的斜率乘积为．

(1)求证：直线过定点，并求此定点D的坐标；
(2)过M作l的垂线交椭圆于A，B两点，过D作l的平行线交直线于H，记的面积为S，的面积为T．

①当取最大值时，求点P的纵坐标；

②证明：存在定点G，使为定值．

2 . 如图，抛物线在点（）处的切线交轴于点，过点作直线（的倾斜角与的倾斜角互补）交抛物线于，两点，求证：
   
(1)的斜率为；
(2).

3 . 已知抛物线的方程为．
(1)若M是上的一点，点N在的准线l上，的焦点为F，且，，求；
(2)设为圆外一点，过P作的两条切线，分别与相交于点A，B和C，D，证明：当P在定直线上运动时，四点的纵坐标乘积为定值的充要条件为．

4 . 已知A，B是抛物线E：上不同的两点，点P在x轴下方，PA与抛物线E交于点C，PB与抛物线E交于点D，且满足，其中λ是常数，且．
(1)设AB，CD的中点分别为点M，N，证明：MN垂直于x轴；
(2)若点P为半圆上的动点，且，求四边形ABDC面积的最大值．

5 . 已知抛物线与双曲线相交于两点是的右焦点，直线分别交于（不同于点），直线分别交轴于两点.
(1)设，求证：是定值；
(2)求的取值范围.

6 . 已知抛物线：（）经过点.
(1)求的方程及其准线方程；
(2)过外一点作三条直线，，，其中，与分别相切于，两点，与相交于，两点，同时与直线相交于点，记，，，的面积分别为，，，，证明：当点运动时，为定值.

7 . 已知抛物线的焦点为．

(1)如图所示，线段为过点且与轴垂直的弦，动点在线段上，过点且斜率为1的直线与抛物线交于两点，请问是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由；
(2)过焦点作直线与交于两点，分别过作抛物线的切线，已知两切线交于点，求证：直线､、的斜率成等差数列．

8 . 已知抛物线，过点的动直线与交于点，且为定值.
(1)求的方程
(2)若抛物线在点处的切线交于点，求证：
①点在定直线上
②若为的焦点，则.

9 . 已知抛物线y²＝x上的动点M（x₀，y₀），过M分别作两条直线交抛物线于P、Q两点，交直线x＝t于A、B两点．
(1)若点M纵坐标为，求M与焦点的距离；
(2)若t＝﹣1，P（1，1），Q（1，﹣1），求证：y_Ay_B为常数；
(3)是否存在t，使得y_Ay_B＝1且y_Py_Q为常数？若存在，求出t的所有可能值，若不存在，请说明理由．

10 . 已知抛物线的准线交轴于，过作斜率为的直线交于，过作斜率为的直线交于．
(1)若抛物线的焦点，判断直线与以为直径的圆的位置关系，并证明；
(2)若三点共线，
①证明：为定值；
②求直线与夹角的余弦值的最小值．