1 . 为迎接2024年在永州举行的中国龙舟公开赛，一位热情好客的永州市民准备将9份一样的永州特产分给甲、乙、丙三名幸运观众，若每人至少分得一份，且甲、乙两人分得的份数不相同，则不同的分法总数为（       ）

A．26

B．25

C．24

D．23

2 . 若集合含有个元素，则称为元集，的子集中含有个元素的子集叫做的元子集.已知集合，，则（       ）

A．是2元集

B．的2元子集有10个

C．是5元集

D．是的9元子集

3 . 下列结论正确的是（       ）

A．，则

B．

C．的展开式的第6项的系数是

D．的展开式中的系数为

4 . 若存在两个不相等的正整数，使得对任意的都成立，则常数的所有可能取值构成的集合为__________.

5 . 陶瓷艺术源远流长，人们的日常生活中随处可见，尤其房屋装饰中瓷砖拼接的艺术颇具美感.当一些纵向长度为1，横向长度为2的矩形瓷砖在垂直或水平方向上没有间隙即恰好拼成矩形时，其铺设方法被称为瓷砖的“布置”.设纵向长度为3，横向长度为的长方形为.使用片砖的的“布置”方法总数为，则__________.

6 . 甲乙两名大学生计划今年五一假期分别从岳阳楼，常德桃花源，天门山，长沙橘子洲头，茶峒古镇五个不同的景区随机选三个景区前往打卡旅游，则两人恰好有两个景区相同的选法共有（       ）

A．36种

B．48种

C．60种

D．72种

7 . 已知集合满足，则下列说法正确的是（       ）

A．若，则中的元素的个数为1

B．若，则中的元素的个数为15

C．若，则中的元素的个数为45

D．若，则中的元素的个数为78

8 . 学校计划于4月份其中一周的周一至周五这五天内组织高一、高二、高三年级的同学进行春季研学活动，每天只能有一个年级参加，其中高一年级需要连续两天，高二、高三年级各需要一天，则不同的安排方案有（       ）

A．18种

B．24种

C．30种

D．32种

9 . 2024年春节期间，某单位需要安排甲、乙、丙等五人值班，每天安排1人值班，其中正月初一、二值班的人员只安排一天，正月初三到初八值班人员安排两天，其中甲因有其他事务，若安排两天则两天不能连排，其他人员可以任意安排，则不同排法一共有（       ）

A．792种

B．1440种

C．1728种

D．1800种

10 . 莫比乌斯函数在数论中有着广泛的应用．所有大于1的正整数都可以被唯一表示为有限个质数的乘积形式：（为的质因数个数，为质数，），例如：，对应．现对任意，定义莫比乌斯函数
(1)求；
(2)若正整数互质，证明：；
(3)若且，记的所有真因数（除了1和以外的因数）依次为，证明：．