1 . 我国古代数学史上一位著述丰富的数学家，他提出的杨辉三角是我国古代数学重大成就之一.图为杨辉三角的部分内容.设杨辉三角中第n行的第r个数为，观察题图可知，相邻两行中三角形的两个腰都是由数字1组成的，其余的数都等于它肩上的两个数相加.

(1)用公式表示出题目中叙述的规律，并加以证明.
(2)在杨辉三角中是否存在某一行，使该行中三个相邻的数之比为？若存在，试求出这三个数；若不存在，请说明理由.

2 . 将“用一条线段联结两个点”称为一次操作，把操作得到的线段称为“边”．若单位圆上个颜色不相同且位置固定的点经过次操作后，从任意一点出发，沿着边可以到达其他任意点，就称这n个点和k条边所构成的图形满足“条件”，并将所有满足“条件”的图形个数记为，则______．

3 . 质数（prime number）又称素数，一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除，则这个数为质数，数学上把相差为2的两个素数叫做“孪生素数”.如：3和5，5和7……，在1900年的国际数学大会上，著名数学家希尔伯特提出了23个问题，其中第8个就是大名鼎鼎的孪生素数猜想：即存在无穷多对孪生素数.我国著名数学家张益唐2013年在《数学年刊》上发表论文《素数间的有界距离》，破解了困扰数学界长达一个半世纪的难题，证明了孪生素数猜想的弱化形式.那么，如果我们在不超过的自然数中，随机选取两个不同的数，记事件，这两个数都是素数；事件：这两个数不是孪生素数，则（       ）

A．

B．

C．

D．

4 . 2024年伊始，随着“广西沙糖桔”“马铃薯公主”等热梗的不断爆出，哈尔滨火爆出圈，成为旅游城市中的“顶流”.某班级五位同学也准备共赴一场冰雪之约，制定了“南方小土豆，勇闯哈尔滨”的出游计划，这五位同学准备在行程第一天在圣索菲亚教堂，冰雪大世界，中央大街三个景点中选择一个去游玩，已知每个景点至少有一位同学会选，五位同学都会进行选择并且只能选择其中一个景点，若学生甲和学生乙准备选同一个景点，则不同的选法种数是__________.

   

5 . “杨辉三角”出自我国数学家杨辉1261年著的《详解九章算法》一书，393年后欧洲帕斯卡也发现这个三角图形，所以“杨辉三角”也叫做“帕斯卡三角形”，它结构优美、性质奇特，生活中很多问题都与杨辉三角有着或多或少的联系．例如生活中的最短路径问题：如图1所示，从甲到每一个交叉点的走法最短路径的条数（图2）与杨辉三角中对应的数性质相同．已知图3是国际象棋简易棋盘，现有一棋子“车”的起始位置是“”，则它要到“”位置的最短路径的条数为（       ）

A．1716

B．924

C．792

D．462

6 . 楷书也叫正楷、真书、正书，是从隶书逐渐演变而来的一种汉字字体，其书写特点是笔画严整规范、线条平直自然、结构匀称方正、运笔流畅有度，《辞海》解释楷书“形体方正，笔画平直，可作楷模”，故名楷书.楷书中竖的写法有垂露竖、悬针竖和短竖三种，小君同学在练习用楷书书写“十”字时，竖的写法可能随机选用其中任意一种，现在小君一行写了5个“十”字，若只比较5处竖的写法，不比较其它笔画，且短竖不超过3处，则不同的写法共有______种.（用数字作答）

7 . 新疆被称为“瓜果之乡”，因地形和天气等因素，新疆水果的甜度要比其他地区更高，新疆的水果含有丰富的果糖以及汁水，其独有的4种水果：榅桲、天山雪莲、新疆无花果、新疆蟠桃更是无可替代，甲、乙、丙、丁四人去新疆旅游，若四人每人购买一种新疆独有水果，则四人恰好购买了两种水果的方法有______种．

8 . 井字棋，英文名叫Tic-Tac-Toe，是一种在格子上进行的连珠游戏，和五子棋类似，由于棋盘一般不画边框，格线排成井字故得名．将空白棋盘上的其中3个格子随机填入○，恰好使得个○连成一条直线的概率为（       ）

A．

B．

C．

D．

9 . 我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里给出了杨辉三角，书中是用汉字来表示的，如图1.研究发现，杨辉三角可以由组合数来表示，如图2.
       
杨辉三角有很多有趣的性质，如杨辉三角的两个腰上的数字都是1，用组合数表示为.请写出一条其他的性质，用组合数表示为：______.从杨辉三角蕴含的规律可知：______.

10 . 杨辉是我国古代数学史上一位著述丰富的数学家，著有《详解九章算法》､《日用算法》和《杨辉算法》，杨辉在1261年所著的《详解九章算法》给出了如下图1所示的表，我们称这个表为杨辉三角，图2是杨辉三角的数字表示，杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的.
   
杨辉三角本身包含了很多有趣的性质，利用这些性质，可以解决很多数学问题.
性质1：杨辉三角的第行就是的展开式的二项式系数；
性质2（对称性）：每行中与首末两端“等距离”之数相等，即；
性质3（递归性）：除1以外的数都等于肩上两数之和，即；
性质4：自腰上的某个1开始平行于腰的一条线上的连续个数的和等于最后一个数斜右下方的那个数，比如：；
请回答以下问题：
(1)求杨辉三角中第8行的各数之和；
(2)证明：；
(3)在的展开式中，求含项的系数.