1 . 某田径队有三名短跑运动员，根据平时训练情况统计甲、乙、丙三人100米跑（互不影响）的成绩在13s内（称为合格）的概率分别为，，.若对这三名短跑运动员的100跑的成绩进行一次检测，则求：
（Ⅰ）三人都合格的概率；
（Ⅱ）三人都不合格的概率；
（Ⅲ）出现几人合格的概率最大.

2 . 甲、乙两组各有位病人，且位病人症状相同，为检验、两种药物的药效，甲组服用种药物，乙组服用种药物，用药后，甲组中每人康复的概率都为，乙组三人康复的概率分别为、、．
（1）设甲组中康复人数为，求的分布列和数学期望；
（2）求甲组中康复人数比乙组中康复人数多人的概率．

3 . 一个口袋中有个红球和个黑球．
（1）从口袋中随机地连续取出三个球，取出后不放回，求：
（i）三个球中有两个红球一个黑球的概率；
（ii）第二次取出的是红球且第三次取出的也是红球的概率．
（2）从口袋中随机地连续取出三个球，取出后放回，求至少有两个是红球且第三个是红球的概率

4 . 黑龙江省哈尔滨市为了打好疫情防控阻击战、歼灭战，在全民核酸检测期间，倡议全体市民:不聚餐、不聚集、居家抗疫．哈尔滨市市民小李为了增加居家抗疫的趣味性，在家里进行套圈游戏，游戏规则如下:向甲、乙两个物体进行套圈，先向甲物体套圈一次，再向乙物体套圈两次，一共套圈三次，向甲物体套圈时命中得分，没有命中得分;向乙物体套圈时，如果连续命中两次得分，只命中一次得分，一次也没有命中得分．小李同志目前的水平是:向甲物体套圈时，命中的概率是;向乙物体套圈时，命中的概率为．假设小李同志每次套圈的结果相互独立.

（1）求小李同志恰好命中三次的概率;
（2）求小李同志获得总分的分布列及数学期望.

5 . 甲、乙两名运动员各投篮一次，甲投中的概率为0.8，乙投中的概率为0.9，求下列事件的概率：
（Ⅰ）两人都投中；
（Ⅱ）恰好有一人投中；
（Ⅲ）至少有一人投中.

6 . 某班组织“2人组”投篮比赛，每队2人，在每轮比赛中，每队中的两人各投篮1次，规定：每队中2人都投中则该队得3分；若只有1人投中，则该队得1分若没有人投中，则该队得－1分．队由甲、乙两名同学组成，甲投球一次投中的概率为，乙投球一次投中的概率为，且甲、乙投中与否互不影响，在各轮比赛中投中与否也互不影响．
（Ⅰ）求队在一轮比赛中的得分不低于1分的概率；
（Ⅱ）若共进行五轮比赛，记“队在一轮比赛中得分不低于1分”恰有次，求的期望和方差；
（Ⅲ）若进行两轮比赛，求队两轮比赛中得分之和的分布列和期望．

7 . 设 （，）．
（1）若展开式中第5项与第7项的系数之比为3∶8，求k的值；
（2）设（），且各项系数，，，…，互不相同．现把这个不同系数随机排成一个三角形数阵：第1列1个数，第2列2个数，…，第n列n个数．设是第i列中的最小数，其中，且i，．记的概率为．求证：．

8 . 甲、乙二人进行一次象棋比赛，每局胜者得1分，负者得0分（无平局），约定一方得4分时就获得本次比赛的胜利并且比赛结束，设在每局比赛中，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立，已知前3局中，甲得1分，乙得2分.
（1）求甲获得这次比赛胜利的概率；
（2）设表示从第4局开始到比赛结束所进行的局数，求的分布列及数学期望.

9 . 某大学对参加“社会实践活动”的全体志愿者进行学分考核，因该批志愿者表现良好，大学决定考核只有合格和优秀两个等次，若某志愿者考核合格，授予个学分；考核优秀，授予个学分，假设该大学志愿者甲、乙、丙考核优秀的概率为、、.他们考核所得的等次相互独立.
（1）求在这次考核中，志愿者甲、乙、丙三人中至少一名考核为优秀的概率；
（2）记在这次考核中甲、乙、丙三名志愿者所得学分之和为随机变量，求随机变量的分布列.

10 . （1）某中学理学社为了吸收更多新社员，在校团委的支持下，在高一学年组织了抽签赠书活动.月初报名，月末抽签，最初有30名同学参加.社团活动积极分子甲同学参加了活动.
①第一个月有18个中签名额.甲先抽签，乙和丙紧随其后抽签.求这三名同学同时中签的概率.
②理学社设置了第()个月中签的名额为，并且抽中的同学退出活动，同时补充新同学，补充的同学比中签的同学少2个，如果某次抽签的同学全部中签，则活动立刻结束.求甲同学参加活动时间的期望.
（2）某出版集团为了扩大影响，在全国组织了抽签赠书活动.报名和抽签时间与（1）中某中学理学社的报名和抽签时间相同，最初有30万人参加，甲同学在其中.每个月抽中的人退出活动，同时补充新人，补充的人数与中签的人数相同.出版集团设置了第()个月中签的概率为，活动进行了个月，甲同学很幸运，中签了，在此条件下，求证：甲同学参加活动时间的均值小于个月.