1 . 某足球俱乐部举办新一届足球赛,按比赛规则,进入淘汰赛的两支球队如果在120分钟内未分出胜负,则需进行点球大战.点球大战规则如下:第一阶段,双方各派5名球员轮流罚球,双方各罚一球为一轮,球员每罚进一球则为本方获得1分,未罚进不得分,当分差拉大到即使落后一方剩下的球员全部罚进也不能追上的时候,比赛即宣告结束,剩下的球员无需出场罚球.若5名球员全部罚球后双方得分一样,则进入第二阶段,双方每轮各派一名球员罚球,直到出现某一轮一方罚进而另一方未罚进的局面,则罚进的一方获胜.设甲、乙两支球队进入点球大战,由甲队球员先罚球,甲队每位球员罚进点球的概率均为,乙队每位球员罚进点球的概率均为.假设每轮罚球中,两队进球与否互不影响,各轮结果也互不影响.
(1)求每一轮罚球中,甲、乙两队打成平局的概率;
(2)若在点球大战的第一阶段,甲队前两名球员均得分而乙队前两名球员均未得分,甲队暂时以2:0领先,求甲队第5个球员需出场罚球的概率.

2 . 有甲、乙、丙三个开关和A，B，C三盏灯，各开关对灯的控制互不影响．当甲闭合时A，B亮，当乙闭合时B，C亮，当丙闭合时A，C亮．若甲、乙、丙闭合的概率分别为，，，且相互独立，则在A亮的条件下，B也亮的概率为____________．

3 . 某社区举行宪法宣传答题活动，该活动共设置三关，参加活动的选手从第一关开始依次闯关，若闯关失败或闯完三关，则闯关结束，规定每位选手只能参加一次活动．已知每位选手闯第一关成功的概率为，闯第二关成功的概率为，闯第三关成功的概率为．若闯关结束时，恰好通过两关可获得奖金300元，三关全部通过可获得奖金800元．假设选手是否通过每一关相互独立．
(1)求参加活动的选手没有获得奖金的概率；
(2)现有甲、乙两位选手参加本次活动，求两人最后所得奖金总和为1100元的概率．

4 . 2023年的春节期间，某市举办了趣味射击过关比赛.比赛时，有甲、乙两个靶，比赛规则如下：射手先向甲靶射击两次，再向乙靶射击一次，每命中甲靶一次得1分，每命中乙靶一次得4分，没有命中均得0分.现已知A射手向甲靶射击一次，命中的概率为，再向乙靶射击一次，命中的概率为，假设A射手每次射击的结果相互独立.
(1)当时，求A射手命中甲靶次数多于命中乙靶次数的概率；
(2)现规定射手总得分的数学期望超过4，比赛过关，若A射手过关，求实数p的取值范围.

5 . 俞女士每次投篮的命中率只有0.2，她在某次投篮练习中决定只要连续两次命中就结束投篮练习，求她至多四次投篮就能结束的概率.

6 . 某足球队为评估球员的场上作用，对球员进行数据分析．球员甲在场上出任边锋、前卫、中场三个位置，根据过往多场比赛，其出场率与出场时球队的胜率如下表所示．

场上位置	边锋	前卫	中场
出场率	0.5	0.3	0.2
球队胜率	0.6	0.8	0.7

(1)当甲出场比赛时，求球队输球的概率；
(2)当甲出场比赛时，在球队获胜的条件下，求球员甲担当前卫的概率；
(3)如果某场比赛该运动队获胜，求在该场比赛中甲最可能的出场位置.

7 . 若某项赛事有16个队伍参加，分成4个小组，记为1，2，3，4组，每个小组有1个一档球队，记为A，1个二档球队，记为B，2个三档球队，分别记为C，D．一档队伍胜三档队伍的概率为，二档队伍胜三档队伍的概率为，一档队伍胜二档队伍的概率为，同档队伍之间比赛胜对方的概率为．比赛采取单场淘汰制，胜者进入下一轮，直至进入决赛决出冠军，对阵关系图如下所示，第一轮一、二档球队都是对阵三档球队．

(1)分别求一、二、三档球队从小组胜出的概率；
(2)已知A1进决赛的概率约为，B1进决赛的概率约为，求一档球队夺冠的概率．

8 . 密室逃脱可以因不同的设计思路衍生出不同的主题，从古墓科考到蛮荒探险，从窃取密电到逃脱监笼，玩家可以选择自己喜好的主题场景在规定时间内完成任务，获取奖励．李华同学和他的小伙伴们组团参加了一次密室逃脱游戏，他们选择了其中一种模式，该游戏共有三关，分别记为A，B，C，他们通过三关的概率依次为：．若其中某一关不通过，则游戏停止，游戏不通过．只有依次通过A，B，C三道关卡才能顺利通关整个游戏，并拿到最终奖励．现已知参加一次游戏的报名费为150元，最终奖励为400元．为了吸引更多的玩家来挑战该游戏，商家推出了一项补救活动，可以在闯关前付费购买通关币．游戏中，若某关卡不通过，则自动使用一枚通关币通过该关卡进入下一关．购买一枚通关币需另付100元，游戏结束后，剩余的未使用的通关币半价回收．
(1)若李华同学购买了一枚通关币，求他通过该游戏的概率．
(2)若李华同学购买了两枚通关币，求他最终获得的收益期望值．（收益等于所得奖励减去报名费与购买通关币所需费用）．

9 . 为树立“优先公交、绿色出行”理念，市政府倡议“少开一天车，优先选择坐公交车、骑自行车和步行出行”，养成绿色、环保、健康的出行习惯．甲、乙两位市民为响应政府倡议，在每个工作日的上午上班（记为上班）和下午下班（记为下班）选择坐公交车（记为A）、骑自行车（记为B）．统计这两人连续100个工作日的上班和下班出行方式的数据情况如下：

上班下班出行方式	（A，A）	（A，B）	（B，A）	（B，B）
甲	30天	20天	40天	10天
乙	20天	10天	30天	40天

设甲、乙两人上班和下班选择的出行方式相互独立，以这100天数据的频率为概率．
(1)记M表示事件：一天中，甲上班和下班都选择坐公交车、乙上班和下班都选择骑自行车，求；
(2)记X为甲、乙两人在一天中上班和下班选择出行方式的个数，求；
(3)若甲、乙两人下班时都选择骑自行车，请问哪个人上班时更有可能选择坐公交车？说明理由．

10 . 甲、乙、丙三人进行围棋比赛，规则如下：甲、乙进行第一局比赛，丙旁观；每局比赛的胜者与旁观者进行下一局比赛，负者下一局旁观；直至有人累计胜两局，则比赛结束，且先累计胜两局者为本次比赛获胜者.已知甲乙对弈，每局双方获胜的概率均为0.5，甲丙对弈、乙丙对弈，每局丙获胜的概率均为0.4、对方获胜的概率均为0.6，各局比赛结果相互独立.
(1)设本次比赛共进行了X局，求X的分布列与数学期望；
(2)若比赛结束时共进行了4局对弈，求丙是本次比赛获胜者的概率.