1 . 数列满足：或对任意i，j，都存在s，t，使得，其中且两两不相等.
(1)若时，写出下列三个数列中所有符合题目条件的数列序号；①；②；③；
(2)记，若证明：；
(3)若，求n的最小值.

2 . 已知数列的各项均为非零实数，且对于任意的正整数，都有.
(1)写出数列的前三项（请写出所有可能的结果）；
(2)是否存在满足条件的无穷数列，使得？若存在，求出这样的无穷数列的一个通项公式；若不存在，说明理由；
(3)记的所有取值构成的集合为，求集合中所有元素之和．（结论不要求证明）

3 . 已知数列，，．
(1)求、、、；
(2)猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想．

4 . 是否存在常数a、b，使等式对一切正整数n都成立？猜测并用数学归纳法证明你的结论．

5 . 某少数民族的刺绣有着悠久的历史，下图①、②、③、④为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第个图形包含个小正方形．

（1）求出；
（2）归纳出与的关系式，并根据你得到的关系式求的表达式；
（3）求证：．

6 . 设数列满足，．
（1）计算，，猜想的通项公式并加以证明；
（2）令，，证明：．

7 . 已知a，，可以证明：
（1）；
（2）；
（3）；
根据上述不等式，写出一个更一般的结论，并加以证明．

10 . 三角函数中有许多形式简洁，含义隽永的数学等式．某学习小组在一次研究性学习中发现，以下四个式子的值都等于同一个常数：
甲：；
乙：；
丙：；
丁：．
（1）请从上述四个式子中任选一个，求出这个常数；
（2）根据（1）的计算结果，请将结论推广为一个三角恒等式，并证明你的结论．