1 . 已知m，n为正整数．
(1)用数学归纳法证明：当时，；
(2)对于，已知，求证：；
(3)求出满足等式的所有正整数n．

2 . 证明不等式，．

3 . 已知数列的前项和为，数列满足，且
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的通项公式；
(3)对于，试比较与的大小.

4 . 已知数列的各项都是正数，且满足：．
(1)证明：；
(2)求数列的通项公式．

7 . 在各项均不为零的数列中,选取第项、第项,…,第项,其中,．若新数列为等比数列,则称新数列为的一个长度为m的“等比子列”．已知等差数列,其各项与公差d均不为零．
(1)若数列满足（,）．请写出符合条件的所有等比子列;
(2)若,数列为的一个长度为m的“等比子列”,其中,公比为q,当q最小时,求的通项公式;
(3)若公比为q的等比数列,满足,,(,),证明：数列为数列的“等比子列”．

8 . 已知定义域为的函数同时满足：①对于任意的，总有；②；③若，则有．
(1)求的值；
(2)求函数的最大值；
(3)证明：满足上述条件的函数对定义域内任意实数x，都有．

9 . 已知数列满足：，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）求证：对于一切正整数n，不等式恒成立．

10 . 设数列满足，，.
（1）求的最大值；
（2）若，证明：，.