解题方法
1 . 如图甲所示，两个半径为R的竖直固定的绝缘光滑 
细圆管道与粗糙水平地面AB在B点平滑相切，过管道圆心 
的水平界面下方空间有水平向右的电场，记A点所在位置为坐标原点，沿AB方向建立
坐标轴，电场强度大小随位置变化如图乙所示。质量为
、带电量为
的小球P静止在A点，与地面间动摩擦因数
。另有一光滑绝缘不带电小球Q，质量为
，以速度
向右运动，与小球P发生弹性正碰，碰撞时间极短，且P、Q间无电荷转移，碰后P球可从B点无碰撞进入管道。已知A、B间距离为4R，
重力加速度为
，不计空气阻力，小球P、Q均可视为质点。求：
（1）碰后小球P的速度大小
；
（2）小球P从A点运动到管道最高点C点过程中电场力做的功
；
（3）小球P再次到达水平地面时与B点的距离。
细圆管道与粗糙水平地面AB在B点平滑相切，过管道圆心 的水平界面下方空间有水平向右的电场，记A点所在位置为坐标原点，沿AB方向建立坐标轴，电场强度大小随位置变化如图乙所示。质量为、带电量为的小球P静止在A点，与地面间动摩擦因数。另有一光滑绝缘不带电小球Q，质量为，以速度向右运动，与小球P发生弹性正碰，碰撞时间极短，且P、Q间无电荷转移，碰后P球可从B点无碰撞进入管道。已知A、B间距离为4R，重力加速度为，不计空气阻力，小球P、Q均可视为质点。求：（1）碰后小球P的速度大小
；（2）小球P从A点运动到管道最高点C点过程中电场力做的功
；（3）小球P再次到达水平地面时与B点的距离。
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2 . 如图甲所示，半径为R、圆心角为
的光滑圆弧轨道下端与水平面相连。有一质量为M的滑块静止于足够长的水平面，滑块与水平面有摩擦。一质量为m（
）的小球从圆弧顶点静止释放，小球在水平面上的运动如图乙虚线所示，运动过程忽略小球与轨道摩擦。测得小球与滑块发生第一次碰撞后到第二次碰撞前相隔的最大距离是d。小球与滑块的碰撞均为一维弹性对心碰撞，不计空气阻力，重力加速度大小为g。求：
（1）第一次碰后瞬间，小球和滑块的速度；
（2）小球第一次与滑块碰撞到第二次碰撞的时间；
（3）滑块在水平面上通过的总路程。
的光滑圆弧轨道下端与水平面相连。有一质量为M的滑块静止于足够长的水平面，滑块与水平面有摩擦。一质量为m（）的小球从圆弧顶点静止释放，小球在水平面上的运动如图乙虚线所示，运动过程忽略小球与轨道摩擦。测得小球与滑块发生第一次碰撞后到第二次碰撞前相隔的最大距离是d。小球与滑块的碰撞均为一维弹性对心碰撞，不计空气阻力，重力加速度大小为g。求：（1）第一次碰后瞬间，小球和滑块的速度；
（2）小球第一次与滑块碰撞到第二次碰撞的时间；
（3）滑块在水平面上通过的总路程。
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3 . 物体在空气中运动时受到的阻力大小与很多因素有关，在研究此类问题时通常简化为以下两种模型，模型①认为空气阻力大小恒定不变，模型②认为空气阻力大小与速率成正比。一物体以大小为v0的初速度竖直上抛，落回出发点时的速度大小为v（
），若按模型①得到物体运动的时间为T1，按模型②得到物体运动的时间为T2，则T1和T2的大小关系为（ ）
），若按模型①得到物体运动的时间为T1，按模型②得到物体运动的时间为T2，则T1和T2的大小关系为（ ）A． | B． |
C． | D．条件不足，无法判断 |
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4 . 如图所示为某同学设计的轨道模型，1和2为竖直平面内圆形轨道，其半径分别为
，
，C、
、D、
均为轨道最低点且略微错开，倾角
的足够长的倾斜直轨道与圆轨道1相切于B点，
、
为水平直轨道，其长度分别为
，
，EF为半圆形水平弯道，其半径
，所能承受最大的侧向压力为
。先将一小球从倾斜轨道上距B点L处的A点静止释放，已知小球的质量
，小球与所有直轨道上的动摩擦因数，所有圆轨道对小球的阻力可忽略不计，重力加速度g取
，
，
。
（1）若
，求小球从A点运动到C点时对轨道的压力；
（2）若小球能通过两个竖直圆轨道，求L的最小值；
（3）若要求小球在运动过程中始终不脱离轨道，求L的取值范围。
，，C、、D、均为轨道最低点且略微错开，倾角的足够长的倾斜直轨道与圆轨道1相切于B点，、为水平直轨道，其长度分别为，，EF为半圆形水平弯道，其半径，所能承受最大的侧向压力为。先将一小球从倾斜轨道上距B点L处的A点静止释放，已知小球的质量，小球与所有直轨道上的动摩擦因数，所有圆轨道对小球的阻力可忽略不计，重力加速度g取，，。（1）若
，求小球从A点运动到C点时对轨道的压力；（2）若小球能通过两个竖直圆轨道，求L的最小值；
（3）若要求小球在运动过程中始终不脱离轨道，求L的取值范围。
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5 . 如图所示，一质量为
的小物块（可视为质点）置于一光滑倾斜直轨道上，倾斜直轨道足够长且与光滑平台平滑连接，在平台的右端有一传送带AB，长
，物块与传送带间的动摩擦因数
，与传送带相邻的粗糙水平面BC长
，它与物块间的动摩擦因数
，在C点右侧有一半径为R的光滑竖直面内的半圆弧CEF与BC平滑连接，半圆弧的直径CF与BC垂直，点F处有一固定挡板，物块撞上挡板后会以原速率反弹回来。若传送带
的速率顺时针转动，不考虑物块滑上和滑下传送带的机械能损失。现将小物块从P点沿直轨道下滑，初速度
，小物块恰能滑到与圆心等高的E点，P点与平台的高度差为1.25m，g取10m/s2。
（1）求小物块第一次到达B处时的速度大小及第一次通过传送带时传送带对小物块做的功。
（2）求小物块最终停下时与B点间的距离。
（3）若小物块由静止释放，可通过调节小物块释放时的高度，使小物块与挡板只碰一次，且碰后不脱离圆弧轨道，求其高度的可调节范围。
的小物块（可视为质点）置于一光滑倾斜直轨道上，倾斜直轨道足够长且与光滑平台平滑连接，在平台的右端有一传送带AB，长，物块与传送带间的动摩擦因数，与传送带相邻的粗糙水平面BC长，它与物块间的动摩擦因数，在C点右侧有一半径为R的光滑竖直面内的半圆弧CEF与BC平滑连接，半圆弧的直径CF与BC垂直，点F处有一固定挡板，物块撞上挡板后会以原速率反弹回来。若传送带的速率顺时针转动，不考虑物块滑上和滑下传送带的机械能损失。现将小物块从P点沿直轨道下滑，初速度，小物块恰能滑到与圆心等高的E点，P点与平台的高度差为1.25m，g取10m/s2。（1）求小物块第一次到达B处时的速度大小及第一次通过传送带时传送带对小物块做的功。
（2）求小物块最终停下时与B点间的距离。
（3）若小物块由静止释放，可通过调节小物块释放时的高度，使小物块与挡板只碰一次，且碰后不脱离圆弧轨道，求其高度的可调节范围。
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6 . 如图所示，光滑的部分圆弧轨道BCD竖直固定放置，半径
m，圆弧轨道BCD与水平轨道AB相切于B点，C点是轨道上与圆心O等高的点，D点与圆心O的连线与竖直方向夹角为37°。一可视为质点的质量为
kg的小物块从水平轨道的A点由静止释放，在整个运动过程中受到一水平向右的恒定外力
N，已知小物块与水平轨道AB之间的动摩擦因数
，A点和B点之间的距离
m，重力加速度
m/s
，，，求：
（1）圆弧轨道上的C点受到的压力；
（2）小球沿圆弧轨道BCD运动的最大速度为多少；
（3）要使小球完成沿圆弧轨道BCD的圆周运动，释放点应距离B多远；
（4）在（3）问的条件下，小球最终落点的位置距离B多远。
m，圆弧轨道BCD与水平轨道AB相切于B点，C点是轨道上与圆心O等高的点，D点与圆心O的连线与竖直方向夹角为37°。一可视为质点的质量为kg的小物块从水平轨道的A点由静止释放，在整个运动过程中受到一水平向右的恒定外力N，已知小物块与水平轨道AB之间的动摩擦因数，A点和B点之间的距离m，重力加速度m/s，，，求：（1）圆弧轨道上的C点受到的压力；
（2）小球沿圆弧轨道BCD运动的最大速度为多少；
（3）要使小球完成沿圆弧轨道BCD的圆周运动，释放点应距离B多远；
（4）在（3）问的条件下，小球最终落点的位置距离B多远。
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7 . 一名儿童在水平地面上的一块长木板上玩耍，他从左端开始加速跑向右端，当跑到右端时，立即止步且在极短时间内就与木板相对静止，并一起向右滑动至停止。对相关条件进行如下简化：儿童质量M=20kg，木板的质量m=5kg，木板长度L=2m。儿童奔跑时，木板与地面间的滑动摩擦力恒为
，儿童止步后，木板与地面间的的滑动摩擦力恒为
，最大静摩擦力与滑动摩擦力相等。最初儿童和木板均静止，每次玩耍儿童加速时加速度恒定，加速度大小可在0~3m/s2间调节，运动过程中脚与木板间始终没有打滑，儿童可视为质点。求：
（1）为使木板不向左滑动，儿童加速度的最大值
；
（2）儿童以1.8m/s2的加速度向右运动过程中儿童对木板做功；
（3）请写出儿童向右运动的总距离x关于儿童加速阶段加速度
的表达式，并求出最大距离
。
，儿童止步后，木板与地面间的的滑动摩擦力恒为，最大静摩擦力与滑动摩擦力相等。最初儿童和木板均静止，每次玩耍儿童加速时加速度恒定，加速度大小可在0~3m/s2间调节，运动过程中脚与木板间始终没有打滑，儿童可视为质点。求：（1）为使木板不向左滑动，儿童加速度的最大值
；（2）儿童以1.8m/s2的加速度向右运动过程中儿童对木板做功；
（3）请写出儿童向右运动的总距离x关于儿童加速阶段加速度
的表达式，并求出最大距离。
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8 . 如图所示，半径为1m的四分之三光滑圆轨道竖直固定在水平地面上，B点为轨道最低点，A点与圆心O等高。质量为1kg的小球（可视为质点）在A点正上方0.75m处静止释放，下落至A点时进入圆轨道，重力加速度g取
，不计空气阻力，则（ ）
，不计空气阻力，则（ ）
| A．小球在B点的动能为7.5J | B．小球在A点受到轨道的弹力大小为10N |
| C．小球上升过程中距地面的最大高度为1.75m | D．小球离开轨道后将落至轨道B点 |
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名校
9 . 如图所示，AB是半径
的四分之一光滑圆弧轨道，其最低点A与水平地面相切，质量分别为3m、m的物块a、b静止在水平面的P、A之间，a、b间夹有一小块炸药，水平面PA段光滑，P点左侧平面粗糙，两物块与粗糙平面间的动摩擦因数均为0.5，炸药瞬间爆炸，将两物块推开，a在粗糙平面上滑行了0.4m后静止，不计物块的大小，炸药质量不计，重力加速度g取
，求：
（1）炸药爆炸后物块a获得的速度大小；
（2）若
，求物块b滑到A点时对圆弧轨道的压力大小；
（3）若a、b相遇时发生弹性碰撞，求物块b在粗糙平面上滑行的总路程。
的四分之一光滑圆弧轨道，其最低点A与水平地面相切，质量分别为3m、m的物块a、b静止在水平面的P、A之间，a、b间夹有一小块炸药，水平面PA段光滑，P点左侧平面粗糙，两物块与粗糙平面间的动摩擦因数均为0.5，炸药瞬间爆炸，将两物块推开，a在粗糙平面上滑行了0.4m后静止，不计物块的大小，炸药质量不计，重力加速度g取，求：（1）炸药爆炸后物块a获得的速度大小；
（2）若
，求物块b滑到A点时对圆弧轨道的压力大小；（3）若a、b相遇时发生弹性碰撞，求物块b在粗糙平面上滑行的总路程。
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10 . 如图所示是一款固定在竖直平面内的游戏装置。半径
的半圆形细管轨道AB与半径
的半圆形内轨道BC在B点平滑连接，圆心分别为
和
，直径AB和BC处于竖直方向。倾角α=37°的足够长直轨道CD与轨道BC在C点用一小段圆弧轨道平滑连接，C点位于水平地面。在水平地面上可左右移动的P点能够斜向上发射质量m=0.15kg的小滑块（可视为质点），只有当小滑块到达A点时速度刚好水平才可进入细管轨道。已知轨道AB和轨道BC均光滑，小滑块与轨道CD间的动摩擦因数μ=0.25，忽略空气阻力，不计细管管口直径，重力加速度g取
，sin37°=0.6，cos37°=0.8。
（1）若小滑块刚进入A点时与细管壁无挤压，求小滑块第一次运动到内轨道BC的B点时受到轨道的弹力大小；
（2）若小滑块从A点进入细管后最终还能从A点飞出，求发射点P到C点的距离需要满足的条件；
（3）通过计算说明小滑块从A点进入细管后能通过B点的最多次数，并求出为达到该次数在P点发射时速度大小应满足的条件。
的半圆形细管轨道AB与半径的半圆形内轨道BC在B点平滑连接，圆心分别为和，直径AB和BC处于竖直方向。倾角α=37°的足够长直轨道CD与轨道BC在C点用一小段圆弧轨道平滑连接，C点位于水平地面。在水平地面上可左右移动的P点能够斜向上发射质量m=0.15kg的小滑块（可视为质点），只有当小滑块到达A点时速度刚好水平才可进入细管轨道。已知轨道AB和轨道BC均光滑，小滑块与轨道CD间的动摩擦因数μ=0.25，忽略空气阻力，不计细管管口直径，重力加速度g取，sin37°=0.6，cos37°=0.8。（1）若小滑块刚进入A点时与细管壁无挤压，求小滑块第一次运动到内轨道BC的B点时受到轨道的弹力大小；
（2）若小滑块从A点进入细管后最终还能从A点飞出，求发射点P到C点的距离需要满足的条件；
（3）通过计算说明小滑块从A点进入细管后能通过B点的最多次数，并求出为达到该次数在P点发射时速度大小应满足的条件。
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