1 . 正整数数列的前项和为,前项积为,若,则称数列为“数列”.
(1)判断数列2,2,4,8是否是数列,并说明理由;
(2)若数列是数列,且.探究和的值是否唯一;
(3)是否存在等差数列是数列?请阐述理由.
(1)判断数列2,2,4,8是否是数列,并说明理由;
(2)若数列是数列,且.探究和的值是否唯一;
(3)是否存在等差数列是数列?请阐述理由.
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2 . 设数列:,,,…,(,),如果中各项按一定顺序进行一个排列,就得到一个有序数组:(,,,…,).若有序数组:(,,,…,)满足恒成立,则称:(,,,…,)为阶减距数组;若有序数组:(,,,…,)满足恒成立,则称:(,,,…,)为阶非减距数组.
(1)已知数列:,3,2,,请直接写出该数列中的数组成的所有4阶减距数组;
(2)设:(,,,…,)是数列:1,3,5,…,(,)的一个有序数组,若:(,,,…,)为阶非减距数组,且:(,,…,)为阶非减距数组,请直接写出4个满足上述条件的有序数组;
(3)已知等比数列:,,,…,()的公比为,证明:当时,:(,,,…,)为阶非减距数组.
(1)已知数列:,3,2,,请直接写出该数列中的数组成的所有4阶减距数组;
(2)设:(,,,…,)是数列:1,3,5,…,(,)的一个有序数组,若:(,,,…,)为阶非减距数组,且:(,,…,)为阶非减距数组,请直接写出4个满足上述条件的有序数组;
(3)已知等比数列:,,,…,()的公比为,证明:当时,:(,,,…,)为阶非减距数组.
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3 . 如图,某数阵满足:每一行从左到右成等差数列,每一列从上到下成公比相同的等比数列,数阵中各项均为正数,,则______ ;在数列中的任意与两项之间,都插入个相同的数,组成数列,记数列的前项和为,则______ .
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4 . 已知无穷数列是首项为1,各项均为正整数的递增数列,集合,若对于集合中的元素,数列中存在不相同的项,使得,则称数列具有性质,记集合数列具有性质.
(1)若数列的通项公式为,判断数列是否具有性质,若具有,写出集合与集合;
(2)已知数列具有性质且集合中的最小元素为.集合小的最小元素为,当时,证明:.
(1)若数列的通项公式为,判断数列是否具有性质,若具有,写出集合与集合;
(2)已知数列具有性质且集合中的最小元素为.集合小的最小元素为,当时,证明:.
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5 . 数列称为斐波那契数列,该数列是由意大利数学家莱昂纳多・斐波那契(Leonardo Fibonacci)以兔子繁殖为例子而引入,故又称为“兔子数列”,满足,则数55是该数列的第__________ 项;是斐波那契数列的第__________ 项.
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解题方法
6 . 已知首项为6的数列满足(,且),若存在正整数k,使得成立,则k的值为( )
A.7 | B.8 | C.9 | D.10 |
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名校
解题方法
7 . 当,且时,我们把叫做数列的子数列.已知为正项等比数列,且其公比为.
(1)直接给出与的大小关系.
(2)是否存在这样的满足:成等比数列,且子数列也成等比数列?若存在,请写出一组的值;否则,请说明理由.
(3)若,证明:当,时,有.
(1)直接给出与的大小关系.
(2)是否存在这样的满足:成等比数列,且子数列也成等比数列?若存在,请写出一组的值;否则,请说明理由.
(3)若,证明:当,时,有.
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名校
8 . 若正整数数列满足:①为有穷数列:;②;③当时,满足的正整数对有且仅有个.称该数列为的减数列.
(1)写出5的2减数列的所有情况;
(2)若存在100的减数列,求正整数的最大值.
(1)写出5的2减数列的所有情况;
(2)若存在100的减数列,求正整数的最大值.
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解题方法
9 . 设有穷数列的所有项之和为,所有项的绝对值之和为,若数列满足下列两个条件,则称其为阶“数列”:①;②.
(1)若2023阶“数列”是递减的等差数列,求;
(2)若阶“数列”是等比数列,求的通项公式(,用表示);
(3)设阶“数列”的前项和为,若,使得,证明:数列不可能为阶“1数列”.
(1)若2023阶“数列”是递减的等差数列,求;
(2)若阶“数列”是等比数列,求的通项公式(,用表示);
(3)设阶“数列”的前项和为,若,使得,证明:数列不可能为阶“1数列”.
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10 . 在等差数列中,已知成等差数列.
(1)求数列的通项公式;
(2)数列是否为等比数列?若是求其前项和,若不是,请说明理由;
(3)设,且,求的所有取值.
(1)求数列的通项公式;
(2)数列是否为等比数列?若是求其前项和,若不是,请说明理由;
(3)设,且,求的所有取值.
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