1 . 定义：已知数列满足．
(1)若，，求，的值；
(2)若，，使得恒成立．探究：是否存在正整数p，使得，若存在，求出p的可能取值构成的集合；若不存在，请说明理由；
(3)若数列为正项数列，证明：不存在实数A，使得．

2 . 设整数满足，集合.从中选取个不同的元素并取它们的乘积，这样的乘积有个，设它们的和为.例如.
(1)若，求；
(2)记.求和的整式表达式；
(3)用含，的式子来表示.

3 . 已知四面体的各个面均为全等的等腰三角形，且.设为空间内任一点，且五点在同一个球面上，则（       ）

A．

B．四面体的体积为

C．当时，点的轨迹长度为

D．当三棱锥的体积为时，点的轨迹长度为

4 . 若数列满足：存在和，使得对任意和，都有，则称数列为“数列”；如果数列满足：存在，使得对任意，都有，则称数列为“数列”；
(1)在下列情况下，分别判断是否“数列”，是否“数列”？①，，；②，；
(2)若数列，是“数列”，其中且，求的所有可能值；
(3)设“数列”和“数列”的各项均为正数，定义分段函数，如下：记为“不超过的最大正整数”，证明：若是周期函数，则是“数列”.

5 . 由个数排列成行列的数表称为行列的矩阵，简称矩阵，也称为阶方阵，记作：其中表示矩阵中第行第列的数．已知三个阶方阵分别为，，其中分别表示中第行第列的数．若，则称是生成的线性矩阵．
(1)已知，若是生成的线性矩阵，且，求；
(2)已知，矩阵，矩阵是生成的线性矩阵，且．
（i）求；
（ii）已知数列满足，数列满足，数列的前项和记为，是否存在正整数，使成立？若存在，求出所有的正整数对；若不存在，请说明理由．

6 . 生命在于运动，某健身房为吸引会员来健身，推出打卡送积分活动（积分可兑换礼品），第一天打卡得1积分，以后只要连续打卡，每天所得积分都会比前一天多2分．若某天未打卡，则当天没有积分，且第二天打卡须从1积分重新开始．某会员参与打卡活动，从3月1日开始，到3月20日他共得193积分，中途有一天未打卡，则他未打卡的那天是（       ）

A．3月5日或3月16日	B．3月6日或3月15日
C．3月7日或3月14日	D．3月8日或3月13日

7 . 设等比数列的公比为，前项积为，下列说法正确的是（       ）

A．若，则

B．若，则

C．若，且为数列的唯一最大项，则

D．若，且，则使得成立的的最大值为20

8 . 已知整数，数列是递增的整数数列，即且定义数列的“相邻数列”为，其中或
(1)已知，数列，写出的所有“相邻数列”；
(2)已知，数列是递增的整数数列，，且的所有“相邻数列”均为递增数列，求这样的数列的个数；
(3)已知，数列是递增的整数数列，，且存在的一个“相邻数列”，对任意的，求的最小值．

9 . 同余定理是数论中的重要内容．同余的定义为：设a，，且．若则称a与b关于模m同余，记作（modm）（“|”为整除符号）．
(1)解同余方程（mod3）；
(2)设（1）中方程的所有正根构成数列，其中．
①若（），数列的前n项和为，求；
②若（），求数列的前n项和．

10 . 已知各项均为正整数的有穷数列：满足，有.若等于中所有不同值的个数，则称数列具有性质P.
(1)判断下列数列是否具有性质P；
①：3，1，7，5；②：2，4，8，16，32.
(2)已知数列：2，4，8，16，32，m具有性质P，求出m的所有可能取值；
(3)若一个数列：具有性质P，则是否存在最小值?若存在，求出这个最小值，并写出一个符合条件的数列；若不存在，请说明理由.