1 . 已知数列的前n项和为．若对每一个，有且仅有一个，使得，则称为“X数列”.记，，称数列为的“余项数列”.
(1)若的前四项依次为0，1，，1，试判断是否为“X数列”，并说明理由；
(2)若，证明为“X数列”，并求它的“余项数列”的通项公式；
(3)已知正项数列为“X数列”，且的“余项数列”为等差数列，证明：．

2 . 在不大于的正整数中，所有既不能被2整除也不能被3整除的个数记为.
(1)求，的值；
(2)对于，，是否存在m，n，p，使得?若存在，求出m，n，p的值；若不存在，请说明理由；
(3)记表示不超过的最大整数，且，求的值.

3 . 已知数列的前项中最大的项记为，则叫做由生成的“数列”．
(1)若，求；
(2)若，求的前项和；
(3)若数列都只有5项，且各项均不相同，求数列的个数．

4 . 在中，设，，分别表示角，，对边．设边上的高为，且．
(1)把表示为（，）的形式，并判断能否等于？说明理由．
(2)已知，均不是直角，设是的重心，，，求的值．

5 . 已知定义域为的函数满足如下条件：①对任意的，总有；②；③当，，时，恒成立．已知正项数列满足，且，，令
(1)求数列，的通项公式；
(2)若，求证：（）．

6 . 国际象棋是国际通行的智力竞技运动.国际象棋使用格黑白方格相间棋盘，骨牌为每格与棋盘的方格大小相同的格灰色方格.若某种黑白相间棋盘与骨牌满足以下三点：①每块骨牌覆盖棋盘的相邻两格；②棋盘上每一格都被骨牌覆盖；③没有两块骨牌覆盖同一格，则称骨牌构成了棋盘的一种完全覆盖.显然，我们能够举例说明格黑白方格相间棋盘能被骨牌完全覆盖.

(1)证明：切掉格黑白方格相间棋盘的对角两格，余下棋盘不能被骨牌完全覆盖；
(2)请你切掉格的黑白方格相间棋盘的任意两个异色方格，然后画出余下棋盘的一种骨牌完全覆盖方式，并证明：无论切掉的是哪两个异色方格，余下棋盘都能被骨牌完全覆盖；
(3)记格黑白方格相间棋盘的骨牌完全覆盖方式数为，数列的前n项和为，证明：.

7 . 已知数列的前n项和为，且，，则（     ）

A．当时，	B．
C．数列单调递增，单调递减	D．当时，恒有

8 . 设为给定的正奇数，定义无穷数列：若是数列中的项，则记作.
(1)若数列的前6项各不相同，写出的最小值及此时数列的前6项；
(2)求证：集合是空集；
(3)记集合正奇数，求集合.（若为任意的正奇数，求所有数列的相同元素构成的集合.）

9 . 17到19世纪间，数学家们研究了用连分式求解代数方程的根，并得到连分式的一个重要功能：用其逼近实数求近似值．例如，把方程改写成①，将再代入等式右边得到，继续利用①式将再代入等式右边得到……反复进行，取时，由此得到数列，，，，，记作，则当足够大时，逼近实数．数列的前2024项中，满足的的个数为（参考数据：）

A．1007

B．1009

C．2014

D．2018

10 . 已知关于x的函数和.
(1)若，求x的取值范围；
(2)若关于x的不等式（其中）的解集，求证：.