1 . 已知各项均为正数的数列的首项，其前项和为，从①；②，且；③中任选一个条件作为已知，并解答下列问题.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，设数列的前项和，证明：.
（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.）

2 . 已知数列满足.
(1)证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
(2)记，求数列的前项和.

3 . 已知各项均为正数的数列的首项，其前项和为，从①；②，；③中任选一个条件作为已知，并解答下列问题.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，设数列的前项和，求证：.
（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）.

4 . 数列满足.
(1)求的值；
(2)设，证明是等差数列.

5 . 中，内角、、的对边分别为、、，．
(1)若，．求证：；
(2)若为边的中点，且的面积为，求长的最小值．

6 . 已知数列满足.记.
(1)证明：数列为等差数列；
(2)设数列的前项和为，求数列的前20项的和.

7 . 正项数列的前n项和为，已知．
(1)求证：数列为等差数列，并求出，；
(2)若，求数列的前2023项和．

8 . 记为数列的前n项和，已知，是公差为1的等差数列.
(1)求的通项公式；
(2)证明：.

9 . 设首项为2的数列的前n项和为，前n项积为，且满足______________．
条件①：；条件②：；条件③：．
请在以上三个条件中，选择一个补充在上面的横线处，并解答以下问题：
（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．）
(1)求数列的通项公式；
(2)求证：数列的前n项和．
参考公式：．

10 . 已知数列的每一项都是正数，，．记数列的前项和为，，数列的前项和为，数列的前项和为．
(1)求、；
(2)直接写出与的大小关系（不要求证明）．