1 . 数列的前项和为，且.
(1)证明：数列为等差数列；
(2)求数列的通项公式.

2 . 已知公差的等差数列的前项和为，且，，，成等比数列
（1）求数列的通项公式；
（2）求证数列的项和

3 . 已知正项数列满足，，且对任意的正整数，是和的等差中项.
(1)证明：是等差数列，并求的通项公式；
(2)若，且，求数列的通项公式.

4 . 在等比数列中，，且成等差数列．
（1）为的前项和，证明:;
（2）为的前项积，求数列中落入区间中的所有项．

5 . 已知等差数列的前n项和为，且，．
（1）求；
（2）设数列的前n项和为，求证：．

6 . 已知等差数列的公差为，等比数列的公比为，且，，，.
（1）求数列，的通项公式；
（2）令，求证：.

7 . 已知函数的图象上有一点列，点在轴上的射影是且，．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）对任意的正整数，当时，不等式恒成立，求实数的取值范围；
（Ⅲ）设四边形的面积是，求证： ．

8 . 从条件①，②数列为等比数列，，中任选一个，补充在下面的问题中：
已知为正项数列，为的前项和，___________.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，记为的前项和，证明：.

9 . 某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M，M的价值在使用过程中逐年减少，从第2年到第6年，每年初M的价值比上年初减少10万元；从第7年开始，每年初M的价值为上年初的75%．
（1）求第n年初M的价值的表达式；
（2）设若大于80万元，则M继续使用，否则须在第n年初对M更新，证明：须在第9年初对M更新．

10 . 在数列中，，，
(1)设，证明：数列是等差数列；
(2)求数列的前项和.