名校
1 . 若数列满足,则称该数列为边界为1的数列.对于边界为1的有穷数列,从该数列中任意去掉两项,同时添加作为该数列的末项,可以得到一个项数为项的新数列,称此过程为对数列实施一次“降维”.规定这种“降维”只能实施于边界为1的数列.如果数列经过若干次“降维”后成为只有一项的数列,即得到一个实数,则称该实数为数列的一个“坍缩数”.
(1)设数列的递推公式为,我们知道:当取不同的值时,可以得到不同的数列,若取某实数时,该数列是一个只有3项的有穷数列,求该数列的所有可能的“坍缩数”.
(2)试证明:对于任意一个边界为1的有穷数列,都可以对其持续进行“降维”,直至得到该数列的一个“坍缩数”.
(3)若数列的共有项,其通项公式为,求证:当为偶数时,数列的“坍缩数”一定为正;当为奇数时,数列的“坍缩数”一定为负.
(1)设数列的递推公式为,我们知道:当取不同的值时,可以得到不同的数列,若取某实数时,该数列是一个只有3项的有穷数列,求该数列的所有可能的“坍缩数”.
(2)试证明:对于任意一个边界为1的有穷数列,都可以对其持续进行“降维”,直至得到该数列的一个“坍缩数”.
(3)若数列的共有项,其通项公式为,求证:当为偶数时,数列的“坍缩数”一定为正;当为奇数时,数列的“坍缩数”一定为负.
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解题方法
2 . 如果数列的任意相邻三项,,满足,则称该数列为“凸数列”.
(1)已知是正项等比数列,是等差数列,且,,.记.
①求数列的前项和;
②判断数列是不是“凸数列”,并证明你的结论;
(2)设项正数数列是“凸数列”,求证:,,
(1)已知是正项等比数列,是等差数列,且,,.记.
①求数列的前项和;
②判断数列是不是“凸数列”,并证明你的结论;
(2)设项正数数列是“凸数列”,求证:,,
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解题方法
3 . 已知数列的首项,且满足().
(1)求证:数列为等比数列;
(2)记,求数列的前项和,并证明.
(1)求证:数列为等比数列;
(2)记,求数列的前项和,并证明.
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2024-07-01更新
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1645次组卷
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6卷引用:新疆喀什地区2024年普通高考5月份适应性检测数学试题
新疆喀什地区2024年普通高考5月份适应性检测数学试题(已下线)5.2 等比数列(讲义)(已下线)第六章 数列(测试)(已下线)专题13 数列(4大考向真题解读)-备战2025年高考数学真题题源解密(新高考卷)(已下线)内蒙古兴安盟科尔沁右翼前旗第二中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题山东省济宁市实验中学2024-2025学年高三上学期开学考数学试题
4 . 集合论在离散数学中有着非常重要的地位.对于非空集合和,定义和集,用符号表示和集内的元素个数.
(1)已知集合,,,若,求的值;
(2)记集合,,,为中所有元素之和,,求证:;
(3)若与都是由个整数构成的集合,且,证明:若按一定顺序排列,集合与中的元素是两个公差相等的等差数列.
(1)已知集合,,,若,求的值;
(2)记集合,,,为中所有元素之和,,求证:;
(3)若与都是由个整数构成的集合,且,证明:若按一定顺序排列,集合与中的元素是两个公差相等的等差数列.
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2024-06-07更新
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621次组卷
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3卷引用:湖南省长沙市长郡中学2024届高三下学期二模考试数学试题
名校
解题方法
5 . 已知数列:,,…,.如果数列:,,满足,,其中,则称为的“衍生数列”.
(1)若数列:,,,的“衍生数列”是:5,,7,2,求;
(2)若为偶数,且的“衍生数列”是,证明:的“衍生数列”是;
(3)若为奇数,且的“衍生数列”是,的“衍生数列”是,…依次将数列,,,…第()项取出,构成数列:,,….求证:是等差数列.
(1)若数列:,,,的“衍生数列”是:5,,7,2,求;
(2)若为偶数,且的“衍生数列”是,证明:的“衍生数列”是;
(3)若为奇数,且的“衍生数列”是,的“衍生数列”是,…依次将数列,,,…第()项取出,构成数列:,,….求证:是等差数列.
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2023-11-23更新
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546次组卷
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5卷引用:压轴题数列新定义题(九省联考第19题模式)练
(已下线)压轴题数列新定义题(九省联考第19题模式)练(已下线)黄金卷06北京市第一六六中学2024-2025学年高三上学期阶段测试数学试题北京市汇文中学2023-2024学年高三上学期期中考试数学试题宁夏回族自治区2023-2024学年高二上学期期末测试数学训练卷(二)(范围:选择性必修第一册 第三章+选择性必修第二册 第四章)
名校
6 . 已知数列的前项和为,且满足.
(1)证明:.
(2)当时,求证:;
(3)是否存在常数,使得为等比数列?若存在,求出所有满足条件的的值;若不存在,请说明理由.
(1)证明:.
(2)当时,求证:;
(3)是否存在常数,使得为等比数列?若存在,求出所有满足条件的的值;若不存在,请说明理由.
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2024-03-08更新
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700次组卷
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2卷引用:重庆市第八中学校2024届高三下学期高考适应性月考数学试卷 (五)
解题方法
7 . 若数列满足如下两个条件:①和恰有一个成立;②.就称数列为“中项随机变动数列”.已知数列为“中项随机变动数列”,
(1)若,求的可能取值;
(2)已知的解集为,求证:成等比数列;
(3)若数列前3项均为正项,且的解集为,设的最大值为,求的最大值.
(1)若,求的可能取值;
(2)已知的解集为,求证:成等比数列;
(3)若数列前3项均为正项,且的解集为,设的最大值为,求的最大值.
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8 . 已知数列的前n项和为,,.
(1)求证:是等比数列;
(2)求数列的通项公式;
(3)若,数列的前n项和为,求.
(1)求证:是等比数列;
(2)求数列的通项公式;
(3)若,数列的前n项和为,求.
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名校
解题方法
9 . 已知各项均为正数的数列的前项和为,
(1)求证:数列是等差数列,并求的通项公式;
(2)求证::
(3)设,是否存在正整数,使得对任意正整数均有恒成立?若存在求出的最大值;若不存在,请说明理由.
(1)求证:数列是等差数列,并求的通项公式;
(2)求证::
(3)设,是否存在正整数,使得对任意正整数均有恒成立?若存在求出的最大值;若不存在,请说明理由.
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10 . 已知数列满足,.
(1)求证:数列是等比数列;
(2)设求的前项和.
(1)求证:数列是等比数列;
(2)设求的前项和.
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2024-08-07更新
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499次组卷
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2卷引用:宁夏回族自治区吴忠市青铜峡市2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题