1 . 已知函数有两个零点.
(1)求的取值范围；
(2)设，是的两个零点，，证明：.

2 . 已知椭圆的左､右焦点分别为，过点作不与坐标轴垂直的直线交于两点，点的坐标为.
(1)证明：；
(2)设点关于轴的对称点为，求的面积的最大值.

4 . 已知椭圆C：（）的左、右焦点分别为，，右顶点为A，且，离心率为.
(1)求C的方程；
(2)已知点，M，N是曲线C上两点（点M，N不同于点A），直线分别交直线于P，Q两点，若，证明：直线过定点.

5 . 已知函数．

(1)若恒成立，求的取值范围；
(2)若有两个零点，证明：．

6 . 已知抛物线C的顶点为坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过点．
(1)求抛物线C的标准方程；
(2)若抛物线C开口向右，准线l上两点P，Q关于x轴对称，直线PA交抛物线C于另一点M，直线QA交抛物线C于另一点N，证明：直线MN过定点．

7 . 设函数，在点处的切线斜率为2.
(1)求的值；
(2)证明：.

8 . 已知函数，.
(1)求证：函数存在单调递减区间，并求出该函数单调递减区间的长度的取值范围；
(2)当时，恒成立，求实数的取值范围.

9 . 在平面直角坐标系中，已知椭圆经过点，直线与轴交于点，过的直线与交于两点（异于），记直线和直线的斜率分别为.
(1)求的标准方程；
(2)求的值；
(3)设直线和直线的交点为，求证：在一条定直线上.

10 . 已知抛物线的焦点为F，若的三个顶点都在抛物线E上，且满足，则称该三角形为“核心三角形”．
(1)设“核心三角形”的一边所在直线的斜率为2，求直线的方程；
(2)已知是“核心三角形”，证明：三个顶点的横坐标都小于2．