1 . 已知函数，曲线在点处的切线方程为.
（1）求a，b的值；
（2）证明：.

2 . 已知椭圆的离心率为，分别为椭圆的左、右焦点，点为椭圆上一点，面积的最大值为.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点作关于轴对称的两条不同直线分别交椭圆于与，且，证明直线过定点，并求出该定点坐标.

3 . 已知函数，其中．
（1）函数在处的切线与直线垂直，求实数a的值；
（2）若函数在定义域上有两个极值点，，且．
①求实数a的取值范围；
②求证：．

4 . 如图，已知抛物线的焦点是，准线是，抛物线上任意一点到轴的距离比到准线的距离少2.

（1）写出焦点的坐标和准线的方程；
（2）已知点，若过点的直线交抛物线于不同的两点（均与不重合），直线分别交于点，求证：.

5 . 函数，．
（1）若在点处的切线与直线平行，求的值；
（2）若，设，试证明存在唯一零点，并求的最大值．

6 . 已知函数，其中.
（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；
（Ⅱ）当时，证明：.

7 . 已知函数.其中.
（1）求的单调区间；
（2）设，是的两个极值点，求证：.

8 . 已知函数．
（1）求函数的定义域；
（2）证明：函数在区间上单调递减；
（3）证明：．

9 . 已知椭圆：经过点，且离心率为，
（1）求椭圆的方程；
（2）过点的直线与椭圆交于不同两点、.求证：直线和的斜率之和为定值.

10 . 已知函数（，且）.
（1）求函数的极值点；
（2）当时，证明：.