1 . 已知函数．
(1)求证：；
(2)证明：当，时，．

2 . 已知抛物线的焦点为，过的直线交于两点，过与垂直的直线交于两点，其中在轴上方，分别为的中点．
(1)证明：直线过定点；
(2)设为直线与直线的交点，求面积的最小值．

3 . 中，点，，直线CA和CB的斜率满足：．
(1)求点C的轨迹Ω的方程；
(2)已知原点O，过的直线，分别交于M，N两点和P，Q两点，M在x轴的上方，若M、O、P三点共线，证明：直线过定点，并求定点坐标．

4 . 设、分别是椭圆的左、右焦点，若_____，
请在以下两个条件中任选一个补充在横线上并作答．
①四点、、、中，恰有三点在椭圆上；
②椭圆经过点，与轴垂直，且．
（注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分）.
(1)求椭圆的离心率；
(2)设是椭圆的上顶点，过任作两条互相垂直的直线分别交椭圆于、两点，过点作线段的垂线，垂足为，判断在轴上是否存在定点，使得的长度为定值？并证明你的结论.

5 . 已知抛物线的焦点为，且经过点.
(1)求；
(2)若过点的直线与抛物线交于不同的两点，为坐标原点，证明:.

6 . 已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)设，求证：当时，恰有两个零点.

7 . 已知函数.
(1)若，求函数的单调区间；
(2)若存在极小值点，且，其中，求证：.

8 . 已知函数，且．
(1)求实数a的取值范围；
(2)已知，证明：．

9 . 设函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)证明：存在，使得当时，.

10 . 已知函数.
(1)当时，求函数在区间上的最大值；
(2)若为函数的极值点，求证：