1 . 已知动圆过定点且与直线相切，记圆心的轨迹为曲线．
(1)已知、两点的坐标分别为、，直线、的斜率分别为、，证明：；
(2)若点、是轨迹上的两个动点且，设线段的中点为，圆与动点的轨迹交于不同于的三点、、，求证：的重心的横坐标为定值．

2 . 已知的三个角的对边分别为且，点在边上，是的角平分线，设（其中为正实数）．
(1)求实数的取值范围；
(2)设函数
①当时，求函数的极小值；
②设是的最大零点，试比较与1的大小．

3 . 已知双曲线的左、右顶点分别为，渐近线为直线，离心率为e．过右焦点F且垂直于x轴的直线交双曲线C于点P，Q，则（       ）

A．

B．

C．

D．

4 . 已知直线：和直线：，过动点E作平行的直线交于点A，过动点E作平行的直线交于点B，且四边形OAEB（O为原点）的面积为4.
(1)求动点E的轨迹方程；
(2)当动点E的轨迹的焦点在x轴时，记轨迹为曲线，若过点的直线m与曲线交于P，Q两点，且与y轴交于点N，若，，求证：为定值.

5 . 已知抛物线上的两点，及抛物线上的动点，直线PA，PB的斜率分别为，，坐标轴原点记为O，下列结论正确的是（       ）

A．抛物线的准线方程为

B．三角形AOB为正三角形时，它的面积为

C．当为定值时，为定值

D．过三点，，的圆的周长大于

6 . 已知椭圆具有如下光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线射向椭圆上任一点，经椭圆反射后必经过另一个焦点．若从椭圆的左焦点发出的光线，经过两次反射之后回到点，光线经过的路程为8，T的离心率为．
(1)求椭圆T的标准方程；
(2)设，且，过点D的直线l与椭圆T交于不同的两点M，N，是T的右焦点，且与互补，求面积的最大值．

7 . 国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图1所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆；某校体育馆的钢结构与“鸟巢”相同，其平面图如图2所示，若由外层椭圆长轴一端点和短轴一端点分别向内层椭圆引切线，，且两切线斜率之积等于，则椭圆的离心率为（       ）

A．

B．

C．

D．

8 . 已知双曲线C的焦点到其渐近线的距离为2．
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）设双曲线C的焦点在x轴上，过点的直线l交C双曲线的左右两支分别于A，B，交渐近线分别于M，N，证明：．