1 . 已知双曲线的离心率为，左、右顶点分别为，点，且的面积为2．
(1)求的方程；
(2)若过点的直线与的左、右两支分别交于两点，直线交于点，直线与轴交于点为坐标原点，证明：为定值．

2 . 已知椭圆C：（）的左，右焦点分别为，，上，下顶点分别为A，B，四边形的面积和周长分别为2和.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线l：（）与椭圆C交于E，F两点，线段EF的中垂线交y轴于M点，且为直角三角形，求直线l的方程.

3 . 设函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）若函数在处取得最大值，求a的取值范围.

4 . 已知，分别是双曲线C：的左，右顶点，F为左焦点，以为直径的圆与双曲线C的两条渐近线在x轴上方，从左至右依次交于M，N两点，若∥，则该双曲线的离心率为（       ）

A．

B．2

C．

D．

5 . 椭圆过点，离心率为，左右焦点分别为，，过点的直线交椭圆于，两点.
（1）求椭圆的方程；
（2）当的面积为时，求直线的方程.

6 . 已知函数
（1）若，讨论的单调性；
（2）若，且对于函数的图像上两点，存在，使得函数的图像在处的切线.求证： .

7 . 已知函数，若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（       ）.

A．

B．

C．

D．

8 . 在平面直角坐标系中，已知、分别为椭圆的左、右焦点，直线过点且垂直于椭圆的长轴，动直线垂直于直线于点，线段的中垂线交于点.记点的轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程，并说明是什么曲线；
（2）若直线与曲线交于两点、，则在圆上是否存在两点、，使得，？若存在，请求出的取值范围；若不存在，请说明理由.

9 . 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的离心率为，以椭圆C左顶点T为圆心作圆，设圆T与椭圆C交于点M与点N.

（1）求椭圆C的方程；
（2）求的最小值，并求此时圆T的方程；
（3）设点P是椭圆C上异于M，N的任意一点，且直线MP，NP分别与x轴交于点R，S，O为坐标原点，求证：为定值.

10 . 已知函数，.
（1）当为何值时，轴为曲线的切线；
（2）用表示、中的最大值，设函数，当时，讨论零点的个数.