1 . 已知函数．
(1)讨论函数在上的单调性；
(2)当时，
①判断函数的零点个数，并证明．
②求证：．

2 . 已知函数，为实数.
(1)若在上单调递增，求实数的取值范围；
(2)若.
①证明：既有极大值又有极小值；
②若，分别为函数的极大值和极小值，求的取值范围.

3 . 已知椭圆的两焦点分别为的离心率为上有三点，直线分别过的周长为8．
(1)求的方程；
(2)①若，求的面积；
②证明：当面积最大时，必定经过的某个顶点．

4 . 已知双曲线的左顶点，一条渐近线方程为．

(1)求双曲线的标准方程；
(2)设双曲线的右顶点为为直线上的动点，连接交双曲线于两点（异于），记直线与轴的交点为．
①求证：为定点；
②直线交直线于点，记．求证：为定值．

5 . 已知双曲线的一条渐近线方程的倾斜角为，焦距为4．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)A为双曲线的右顶点，为双曲线上异于点A的两点，且．
①证明：直线过定点；
②若在双曲线的同一支上，求的面积的最小值．

6 . 已知函数，且恒成立.
(1)求的值；
(2)证明：.
（注：其中为自然对数的底数）

7 . 已知动点分别与定点和连线的斜率乘积.
(1)求动点的轨迹方程；
(2)是的右焦点，若过点，与曲线交于，两点，是否存在轴上的点，使得直线绕点无论怎么转动，都有成立？若存在，求出的坐标：若不存在，请说明理由.
(3)是的右焦点，设点位于第一象限，的平分线交于点，求证：.

8 . 已知函数．
(1)当时，证明：当时，；
(2)当时，恒成立，求a的取值范围．

9 . 双曲线C：，点是C上位于第一象限的一点，点关于原点O对称，点关于y轴对称．延长至E使得，且直线和C的另一个交点F位于第二象限中．
(1)求的取值范围；
(2)证明：不可能是的三等分线.

10 . 已知函数.（为实数）
(1)当时，若正实数满足，证明：.
(2)当时，设，若恒成立，求的取值范围.