1 . 已知函数.
(1)当时，证明：；
(2)已知，，求证：函数存在极小值.

2 . 已知，分别是双曲线：（，）的左、右焦点，，点到的渐近线的距离为3.
(1)求双曲线的标准方程及其渐近线方程；
(2)已知点为坐标原点，动直线与相切，若与的两条渐近线交于，两点，求证：的面积为定值.

3 . 在平面直角坐标系中，已知动点、，点是线段的中点，且点在反比例函数的图象上，记动点的轨迹为曲线．
(1)求曲线的方程；
(2)若曲线与轴交于两点，点是直线上的动点，直线分别与曲线交于点(异于点)．求证：直线过定点．

4 . 设，为椭圆的左、右两个焦点，为椭圆上一点，且，．
(1)求的值；
(2)若直线：与椭圆交于，两点，线段的垂直平分线经过点，证明：为定值．

5 . 已知抛物线的焦点为各顶点均在上，且．
(1)证明：是的重心；
(2)能否是等边三角形？并说明理由；
(3)若均在第一象限，且直线的斜率为，求的面积．

6 . 双曲线的焦距为，点在C上，直线交y轴于点P，过P作直线交C于G，H两点，且的斜率存在，直线，交l分别于M，N两点．
(1)求C的方程；
(2)求与的斜率之积；
(3)证明：A，O，M，N共圆．

7 . 已知椭圆C：（）的离心率为，直线l：是椭圆C与圆：的一条公切线．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若点为椭圆C的一点，直线：交圆于M，N两点，以M，N为切点分别作圆的切线，两条切线交于点Q，证明：为定值．

8 . 已知椭圆C：经过点，F为椭圆C的右焦点，O为坐标原点，的面积为.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过点作一条斜率不为0的直线与椭圆C相交于A，B两点（A在B，P之间），直线与椭圆C的另一个交点为D，求证：点A，D关于轴对称.

9 . 已知椭圆方程E：的左焦点为F，直线（）与椭圆E相交于A，B，点A在第一象限，直线与椭圆E的另一点交点为C，且点C关于原点O的对称点为D．
(1)设直线，的斜率分别为，，证明：为常数；
(2)求面积的最大值．

10 . 已知函数．
(1)若，求的极值；
(2)若，设．证明：
（ⅰ）；
（ⅱ）．