1 . 已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若存在，使得函数成立，求证：.
参考数据：.

2 . 已知抛物线的焦点为，点是上的一点，且.
(1)求抛物线的方程；
(2)设点（其中）是上异于的两点，的角平分线与轴垂直，为线段的中点.
（i）求证：点在定直线上；
（ii）若的面积为6，求点的坐标.

3 . 已知抛物线的焦点为．过F作两条互相垂直的直线，，且直线与交于M，N两点，直线与交于E，P两点，M，E均在第一象限．设A，B分别为弦MN，EP的中点，直线ME与直线NP交于点H．
(1)求的方程．
(2)直线AB是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．
(3)证明：点H在直线上．

4 . 已知函数
(1)若曲线在点处的切线方程为，求a和b的值；
(2)讨论的单调性.

5 . 已知定义在的两个函数，.
(1)证明：；
(2)若.证明：当时，存在，使得；
(3)若恒成立，求a的取值范围.

6 . 已知函数，其中为正实数．
(1)若，讨论在的单调性．
(2)若，且方程在至少有一个根，求实数m的取值范围．

7 . 已知动圆经过点且与直线相切，记圆心的轨迹为曲线．
(1)求曲线的方程；
(2)设过点且斜率为正的直线交曲线于两点（点在点的上方），的中点为，
①过作直线的垂线，垂足分别为，试证明：；
②设线段的垂直平分线交轴于点，若的面积为4，求直线的方程．

8 . 若函数在上存在，使得，，则称是上的“双中值函数”，其中称为在上的中值点.
(1)判断函数是否是上的“双中值函数”，并说明理由；
(2)已知函数，存在，使得，且是上的“双中值函数”， 是在上的中值点.
①求的取值范围；
②证明：.

9 . 已知函数.
(1)求函数的单调区间以及极值；
(2)求函数在上的最小值.

10 . 已知函数．
(1)求函数的最大值；
(2)当时，有两个不同的零点，，不等式恒成立，求实数m的取值范围．