1 . 已知函数．
(1)当时，求的极值；
(2)若存在实数，满足，求的取值范围．

2 . 已知为坐标原点，双曲线的离心率为，且过点．

(1)求双曲线的标准方程；
(2)圆的切线与双曲线相交于两点．

（ⅰ）证明：；

（ⅱ）求面积的最小值．

3 . 已知抛物线，点到焦点的距离为，直线与抛物线交于两点，设直线斜率分别为．
(1)求；
(2)若，证明直线过定点，并求出满足条件的定点坐标．

4 . 已知函数，
(1)求函数的单调区间与极值点；
(2)若，方程有三个不同的根，求的取值范围．

5 . 已知椭圆：的左右焦点分别是双曲线：的顶点，且椭圆的上顶点到双曲线的渐近线的距离为．

(1)求椭圆的方程；
(2)如图所示，直线：与椭圆在第二象限交于点，若直线，且与椭圆交于两点，直线，与轴分别交于，两点，记，的横坐标分别为，，求证：为定值．

6 . 平面内，过点和的两条直线交于点P，且直线和直线的斜率之积为
(1)求点P的轨迹C的方程；
(2)过点的直线交点的轨迹C于、两点，求的取值范围．

7 . 已知椭圆过点，且长轴长等于4．
(1)求椭圆的方程；
(2)若是椭圆的两个焦点，圆是以为直径的圆，直线与圆相切，并与椭圆交于不同的两点，若，求的值．

8 . 过抛物线焦点，斜率为的直线与抛物线交于、两点，．
(1)求抛物线的方程；
(2)过焦点的直线，交抛物线于、两点，直线与的交点是否在一条直线上．若是，求出该直线的方程；否则，说明理由．

9 . 已知椭圆：的长轴长等于6，离心率.
(1)求椭圆的方程；
(2)椭圆的左、右焦点分别为，，点P在椭圆上，且，求的面积.

10 . 已知函数，其中a为实数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)是否存在实数a，使得恒成立？若不存在，请说明理由，若存在，求出a的值并加以证明.