1 . 已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)证明：.

2 . 已知函数，是大于0的常数.记曲线在点处的切线为，在轴上的截距为，．
(1)当，时，求切线的方程；
(2)证明：.

3 . 已知函数，．
(1)证明：对于，，都有．
(2)当时，直线：与曲线和均相切，求直线的方程．

4 . 已知抛物线与直线相交于A、B两点．
(1)求证：；
(2)当的面积等于时，求k的值．

5 . 已知函数，.
(1)若的极大值为1，求实数a的值；
(2)若，求证：.

6 . 已知函数.
(1)当时，求的图象在点处的切线方程；
(2)当时，证明：.

7 . 如图，已知椭圆的两个焦点为，且为双曲线的顶点，双曲线的离心率，设为该双曲线上异于顶点的任意一点，直线的斜率分别为，且直线和与椭圆的交点分别为和.

(1)求双曲线的标准方程；
(2)证明：直线的斜率之积为定值；
(3)求的取值范围.

8 . 已知函数.
(1)求函数的最大值；
(2)当时，证明：.

9 . 已知函数，.
(1)讨论的单调性；
(2)若，证明：.

10 . 已知椭圆过和两点.
   
(1)求椭圆C的方程；
(2)如图所示，记椭圆的左、右顶点分别为A，B，当动点M在定直线上运动时，直线，分别交椭圆于两点P和Q.
（i）证明：点B在以为直径的圆内；
（ii）求四边形面积的最大值.