解题方法
1 . 设
为正整数，如果表达式
同时满足下列性质，则称之为“交错和”.①
，
；②
；③当
时，
（
）；④规定：当
时，
也是“交错和”.
（1）请将7和10表示为“交错和”；
（2）若正整数
可以表示为“交错和”，求证：
；
（3）对于任意正整数，判断一共有几种“交错和”的表示方法，并证明你的结论.
为正整数，如果表达式同时满足下列性质，则称之为“交错和”.①，；②；③当时，（）；④规定：当时，也是“交错和”.（1）请将7和10表示为“交错和”；
（2）若正整数
可以表示为“交错和”，求证：；（3）对于任意正整数
，判断一共有几种“交错和”的表示方法，并证明你的结论.
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2 . 设
是定义在R上的函数，对任意
恒有
.当
时，
，且
.
（1）求证：
；
（2）证明：
时恒有
；
（3）求证：在
上是减函数；
（4）若
，求
的取值范围.
是定义在R上的函数，对任意恒有.当时，，且.（1）求证：
； （2）证明：
时恒有；（3）求证：
在上是减函数； （4）若
，求的取值范围.
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3 . 对于非空集合
，定义其在某一运算（统称乘法）“×”下的代数结构称为“群”
，简记为
．而判断是否为一个群，需验证以下三点：
1.（封闭性）对于规定的“×”运算，对任意
，都须满足
；
2.（结合律）对于规定的“×”运算，对任意
，都须满足
；
3.（恒等元）存在
，使得对任意
，
；
4.（逆的存在性）对任意，都存在
，使得
．
记群所含的元素个数为
，则群也称作“阶群”．若群的“×”运算满足交换律，即对任意
，
，我们称为一个阿贝尔群（或交换群）．
(1)证明：所有实数在普通加法运算下构成群
；
(2)记
为所有模长为1的复数构成的集合，请找出一个合适的“×”运算使得在该运算下构成一个群
，并说明理由；
(3)所有阶数小于等于四的群是否都是阿贝尔群？请说明理由．
，定义其在某一运算（统称乘法）“×”下的代数结构称为“群”，简记为．而判断是否为一个群，需验证以下三点：1.（封闭性）对于规定的“×”运算，对任意
，都须满足；2.（结合律）对于规定的“×”运算，对任意
，都须满足；3.（恒等元）存在
，使得对任意，；4.（逆的存在性）对任意
，都存在，使得．记群
所含的元素个数为，则群也称作“阶群”．若群的“×”运算满足交换律，即对任意，，我们称为一个阿贝尔群（或交换群）．(1)证明：所有实数在普通加法运算下构成群
；(2)记
为所有模长为1的复数构成的集合，请找出一个合适的“×”运算使得在该运算下构成一个群，并说明理由；(3)所有阶数小于等于四的群
是否都是阿贝尔群？请说明理由．
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解题方法
4 . 设M是由复数组成的集合，对M的一个子集A，若存在复平面上的一个圆，使得A的所有数在复平面上对应的点都在圆内或圆周上，且
中的数对应的点都在圆外，则称A是一个M的“可分离子集”．
(1)判断
是否是
的“可分离子集”，并说明理由；
(2)设复数z满足
，其中
分别表示z的实部和虚部．证明：
是
的“可分离子集”当且仅当
．
中的数对应的点都在圆外，则称A是一个M的“可分离子集”．(1)判断
是否是的“可分离子集”，并说明理由；(2)设复数z满足
，其中分别表示z的实部和虚部．证明：是的“可分离子集”当且仅当．
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5 . 已知
：
为有穷数列.若对任意的
，都有
（规定
），则称具有性质
.设
.
(1)判断数列
：1，0.1，-0.2，0.5，
：1，2，0.7，1.2，2是否具有性质P?若具有性质P，写出对应的集合
；
(2)若具有性质，证明：
；
(3)给定正整数，对所有具有性质的数列，求中元素个数的最小值.
：为有穷数列.若对任意的，都有（规定），则称具有性质.设.(1)判断数列
：1，0.1，-0.2，0.5，：1，2，0.7，1.2，2是否具有性质P?若具有性质P，写出对应的集合；(2)若
具有性质，证明：；(3)给定正整数
，对所有具有性质的数列，求中元素个数的最小值.
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2023-11-02更新
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420次组卷
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2卷引用：北京一零一中2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题
6 . 对于向量
，若
三个实数互不相等，令向量
，其中
，
，
，（
）.
(1)当
时，直接写出向量
；
(2)证明：对于
，向量
中的三个实数
至多有一个为0；
(3)若
，证明：
，
.
，若三个实数互不相等，令向量，其中，，，（）.(1)当
时，直接写出向量；(2)证明：对于
，向量中的三个实数至多有一个为0；(3)若
，证明：，.
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7 . 设n是不小于3的正整数，集合
，对于集合Sn中任意两个元素
．定义
．若
，则称A，B互为相反元素，记作
或
．
(1)若n=3，A=（0，1，0），B=（1，1，0），试写出
，
，以及A·B的值；
(2)若
，证明：
；
(3)设k是小于n的正奇数，至少含有两个元素的集合
，且对于集合M中任意两个不同的元素
，都有
，试求集合M中元素个数的所有可能的取值．
，对于集合Sn中任意两个元素．定义．若，则称A，B互为相反元素，记作或．(1)若n=3，A=（0，1，0），B=（1，1，0），试写出
，，以及A·B的值；(2)若
，证明：；(3)设k是小于n的正奇数，至少含有两个元素的集合
，且对于集合M中任意两个不同的元素，都有，试求集合M中元素个数的所有可能的取值．
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8 . 设
为正整数，若
满足：①
，
，2，…，；②对于
，均有
．则称具有性质
．对于和
，定义集合
．
（1）设
，若
具有性质
，写出一个
及相应的
；
（2）设
和具有性质
，那么是否可能为
，若可能，写出一组和，若不可能，说明理由；
（3）设和具有性质，对于给定的，求证：满足
的有偶数个．
为正整数，若满足：①，，2，…，；②对于，均有．则称具有性质．对于和，定义集合．（1）设
，若具有性质，写出一个及相应的；（2）设
和具有性质，那么是否可能为，若可能，写出一组和，若不可能，说明理由；（3）设
和具有性质，对于给定的，求证：满足的有偶数个．
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9 . 已知数列
是无穷数列，满足
.
（1）若
，
，求
，
，
的值；
（2）求证：“数列中存在
使得
”是“数列中有无数多项是1”的充要条件；
（3）求证：存在正整数k，使得
.
是无穷数列，满足.（1）若
，，求，，的值；（2）求证：“数列
中存在使得”是“数列中有无数多项是1”的充要条件；（3）求证：存在正整数k，使得
.
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2020-09-13更新
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999次组卷
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3卷引用：2020届北京市中国人民大学附属中学高三上学期期中模拟统练（七）数学试题
2020届北京市中国人民大学附属中学高三上学期期中模拟统练（七）数学试题上海市复旦大学附属中学青浦分校2020届高三下学期开学摸底数学试题（已下线）专题15 数列不等式的证明 微点6 数列不等式的证明综合训练
10 . 若正整数的二进制表示是
，这里
(
)，称有穷数列1，
，
，
，
为的生成数列，设
是一个给定的实数，称
为的生成数.
（1）求
的生成数列的项数；
（2）求由的生成数列
，
，，
的前
项的和
(用
､表示)；
（3）若实数满足
，证明：存在无穷多个正整数，使得不存在正整数
满足
.
的二进制表示是，这里()，称有穷数列1，，，，为的生成数列，设是一个给定的实数，称为的生成数.（1）求
的生成数列的项数；（2）求由
的生成数列，，，的前项的和(用､表示)；（3）若实数
满足，证明：存在无穷多个正整数，使得不存在正整数满足.
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