2024·全国·模拟预测
1 . 已知长为
的线段
的中点为原点
，圆
经过
两点且与直线
相切，圆心的轨迹为曲线
.
(1)求曲线的方程；
(2)过点
且互相垂直的直线
分别与曲线交于点
和点
，且
，四边形
的面积为
，求实数
的值.
的线段的中点为原点，圆经过两点且与直线相切，圆心的轨迹为曲线.(1)求曲线
的方程；(2)过点
且互相垂直的直线分别与曲线交于点和点，且，四边形的面积为，求实数的值.
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2 . 已知抛物线：
的焦点到准线的距离为2，过点
作直线交于M，N两点，点
，记直线
，
的斜率分别为
，
.
(1)求的方程；
(2)求
的值；
(3)设直线交C于另一点Q，求点B到直线
距离的最大值.
：的焦点到准线的距离为2，过点作直线交于M，N两点，点，记直线，的斜率分别为，.(1)求
的方程；(2)求
的值；(3)设直线
交C于另一点Q，求点B到直线距离的最大值.
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3 . 如图1，在
中，
，
，点D是线段AC的中点，点E是线段AB上的一点，且
，将
沿DE翻折到
的位置，使得
，连接PB，PC，如图2所示，点F是线段PB上的一点．
，求证：
平面
；
(2)若直线CF与平面
所成角的正弦值为
，求线段BF的长．
中，，，点D是线段AC的中点，点E是线段AB上的一点，且，将沿DE翻折到的位置，使得，连接PB，PC，如图2所示，点F是线段PB上的一点．
，求证：平面；(2)若直线CF与平面
所成角的正弦值为，求线段BF的长．
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解题方法
4 . 如图，经过边长为1的正方体的三个项点的平面截正方体得到一个正三角形，将这个截面上方部分去掉，得到一个七面体，则这个七面体内部能容纳的最大的球半径是______ ．
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解题方法
5 . 设拋物线
的焦点为
，过点
的直线与抛物线
相交于点
，与
轴相交于点
，则（ ）
的焦点为，过点的直线与抛物线相交于点，与轴相交于点，则（ ）A．的准线方程为 | B． 的值为2 |
C． | D． 的面积与 的面积之比为9 |
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解题方法
6 . 已知向量
，
，则“
”是“
”的（ ）．
，，则“”是“”的（ ）．| A．充分不必要条件 | B．必要不充分条件 |
| C．充要条件 | D．既不充分也不必要条件 |
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2024·全国·模拟预测
7 . 已知直线l：
与拋物线E：
交于A，B两点，与x轴交于点M，
．
(1)求抛物线E的标准方程；
(2)过A，B分别作拋物线E在A，B处切线的垂线
，
，若与的交点为P，P到y轴的距离为d，直线，与y轴的交点分别为C，D，且
，求直线l的方程．
与拋物线E：交于A，B两点，与x轴交于点M，．(1)求抛物线E的标准方程；
(2)过A，B分别作拋物线E在A，B处切线的垂线
，，若与的交点为P，P到y轴的距离为d，直线，与y轴的交点分别为C，D，且，求直线l的方程．
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8 . 某校数学问题研究小组的同学利用电脑对曲线
进行了深人研究．已知点
在曲线
上，曲线在点
处的切线方程为
．请同学们研究以下问题，并作答．
(1)问题1：过曲线的焦点的直线与曲线交于两点，点
在第一象限．
（i）求
（为坐标原点）面积的最小值；
（ii）曲线在点
处的切线分别为
，两直线相交于点
，证明
．
(2)问题2：若是曲线上任意两点，过
的中点
作轴的平行线交曲线于点，记线段与曲线围成的封闭区域为
，研究小组的同学利用计算机经过多次模拟实验发现
是个定值，请求出这个定值．
进行了深人研究．已知点在曲线上，曲线在点处的切线方程为．请同学们研究以下问题，并作答．(1)问题1：过曲线
的焦点的直线与曲线交于两点，点在第一象限．（i）求
（为坐标原点）面积的最小值；（ii）曲线
在点处的切线分别为，两直线相交于点，证明．(2)问题2：若
是曲线上任意两点，过的中点作轴的平行线交曲线于点，记线段与曲线围成的封闭区域为，研究小组的同学利用计算机经过多次模拟实验发现是个定值，请求出这个定值．
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2024·全国·模拟预测
9 . 已知抛物线的方程为
，把该抛物线整体平移，使其顶点与坐标原点重合，平移后的抛物线记作．
(1)写出平移过程，并求抛物线的标准方程；
(2)已知是抛物线的内接三角形（点在直线的下方），过作抛物线的切线交于点，再过作抛物线的切线分别交
于点
，记，
的面积分别为
，证明
为定值．
，把该抛物线整体平移，使其顶点与坐标原点重合，平移后的抛物线记作．(1)写出平移过程，并求抛物线
的标准方程；(2)已知
是抛物线的内接三角形（点在直线的下方），过作抛物线的切线交于点，再过作抛物线的切线分别交于点，记，的面积分别为，证明为定值．
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名校
解题方法
10 . 双曲线
的左、右焦点分别为
、
，过的直线与双曲线的右支交于，
两点（其中点在第一象限）．设
，
的内切圆半径为
，
，则
的取值范围是（ ）
的左、右焦点分别为、，过的直线与双曲线的右支交于，两点（其中点在第一象限）．设，的内切圆半径为，，则的取值范围是（ ）A． | B． |
C． | D． |
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