1 . 已知分别是空间四边形的边的中点.

   

(1)用向量法证明四点共面；
(2)用向量法证明：平面；
(3)设是和的交点，求证：对空间任一点，有.

3 . 如图，在四棱锥中，四边形是矩形，是正三角形，且平面平面，，为棱的中点，四棱锥的体积为．

(1)若为棱的中点，求证：平面；
(2)在棱上是否存在点，使得平面与平面所成锐二面角的余弦值为？若存在，指出点的位置并给以证明；若不存在，请说明理由.

4 . 如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁C₁C是边长为4的正方形.平面ABC⊥平面AA₁C₁C，AB=3，BC=5.

（Ⅰ）求证：AA₁⊥平面ABC；
（Ⅱ）求二面角A₁-BC₁-B₁的余弦值；
（Ⅲ）证明：在线段BC₁存在点D，使得AD⊥A₁B，并求的值.

5 . 如图，和都是等边三角形，且的边长为4，，平面平面，点在线段上．

(1)求证：平面平面．
(2)点，分别在线段，上，且，求二面角的余弦值．

6 . 如图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，分别是线段的中点，在平面内的射影为.

(1)求证：平面；
(2)若点为棱的中点，求点到平面的距离；
(3)若点为线段上的动点（不包括端点），求锐二面角的余弦值的取值范围.

7 . 已知抛物线，是上一点．
(1)求证：直线与相切；
(2)设过点的直线与交于，两点，分别过，作的切线，，与相交于点，求证：点在定直线上．

8 . 如图，在底面是菱形的四棱锥中，底面分别在梭上，为的中点.

   

(1)若为中点，证明：面；
(2)若，是否存在点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

9 . 如图，已知五面体，其中内接于圆，是圆的直径，四边形为平行四边形，且平面．
   
(1)证明：；
(2)若，，且二面角所成角的正切值是2，试求该几何体的体积．

10 . 如图，在三棱柱中，，顶点在底面上的射影恰为点，且.
   
(1)求证：平面
(2)求棱与BC所成的角的大小；
(3)在线段上确定一点P，使，并求出二面角的平面角的余弦值.