1 . 类比思想在数学中极为重要，例如类比于二维平面内的余弦定理，有三维空间中的三面角余弦定理：如图1，由射线，，构成的三面角，记，，，二面角的大小为，则.如图2，四棱柱中，为菱形，，，，且点在底面内的射影为的中点.

(1)求的值；
(2)直线与平面内任意一条直线夹角为，证明：；
(3)在直线上是否存在点，使平面？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由.

2 . 在平面内，若直线将多边形分为两部分，多边形在两侧的顶点到直线的距离之和相等，则称为多边形的一条“等线”．双曲线的左、右焦点分别为、，其离心率为，且点为双曲线右支上一动点，直线与曲线相切于点，且与的渐近线交于、两点，且点在点上方．当轴时，直线为的等线．已知双曲线在其上一点处的切线方程为．
(1)求双曲线的方程；
(2)若是四边形的等线，求四边形的面积；
(3)已知为坐标原点，设，点的轨迹为曲线，证明：在点处的切线为的等线．

3 . 如图，三棱柱中，四边形是边长为4的菱形，，点为棱AC上动点（不与A，C重合），平面与棱交于点．

   

(1)求证：；
(2)若，从条件①、条件②、条件③中选择两个条件作为已知，求直线与平面所成角的正弦值．
条件①：
条件②：二面角为直二面角
条件③：.

4 . 已知椭圆C： 的左、右焦点分别为、，一个焦点为，P是椭圆上一动点（与左、右顶点不重合）.已知的面积的最大值为2.
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点且斜率不为0的直线l与椭圆C相交于M，N两点，椭圆长轴的两个端点分别为，，与相交于点Q，求证：点Q在某条定直线上.

5 . 已知椭圆的离心率为，点在C上.
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点且斜率为的直线交椭圆C于，两点，试用含的代数式表示；
(3)在（2）的条件下，过点P作垂直于x轴的直线与直线AQ相交于点M，证明：线段PM的中点在定直线上.

6 . 给定正整数，集合.若存在集合，，，同时满足下列三个条件：
①，；
②集合中的元素都为奇数，集合中的元素都为偶数，所有能被3整除的数都在集合中（集合中还可以包含其它数）；
③集合，，中各元素之和分别为，，，有；
则称集合为可分集合.
(1)已知为可分集合，写出相应的一组满足条件的集合，，；
(2)当时，是不是可分集合？判断并说明理由；
(3)已知为偶数，求证：“是整数”是“为可分集合”的必要不充分条件.

7 . 已知数列的各项均为正整数，设集合，记的元素个数为．
(1)若数列，求集合，并写出的值；
(2)若是递减数列，求证：“为等差数列”的充要条件是“”；
(3)已知数列，求证：．

8 . 已知椭圆的右焦点坐标为，两个焦点与短轴一个端点构成等边三角形.
(1)求椭圆的方程和离心率；
(2)若过点与点的直线交椭圆于，两点，过点且与直线平行的直线交轴于点，直线与直线于点，求的值.

9 . 已知椭圆的离心率为，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形的周长为8．
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线是圆的一条切线，且直线与椭圆交于，两点，求的最大值．