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解题方法
1 . 如图，各边与坐标轴平行或垂直的矩形
内接于椭圆
，其中点
，
分别在第三、四象限，边
，
与
轴的交点为
，
.
，且，为椭圆
的焦点，求椭圆的离心率；
(2)若
是椭圆的另一内接矩形，且点
也在第三象限，若矩形和矩形的面积相等，证明：
是定值，并求出该定值；
(3)若是边长为1的正方形，边
，
与
轴的交点为
，
，设
（
，
，…，
）是正方形内部的100个点，记
，其中
，，
，
.证明：
，
，
，
中至少有两个小于81.
内接于椭圆，其中点，分别在第三、四象限，边，与轴的交点为，.
，且，为椭圆的焦点，求椭圆的离心率；(2)若
是椭圆的另一内接矩形，且点也在第三象限，若矩形和矩形的面积相等，证明：是定值，并求出该定值；(3)若
是边长为1的正方形，边，与轴的交点为，，设（，，…，）是正方形内部的100个点，记，其中，，，.证明：，，，中至少有两个小于81.
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解题方法
2 . 已知椭圆
：
的长轴长为4，左，右焦点分别为
，
，上顶点为A，其中直线
的斜率为
.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)已知直线
与椭圆C交于M，N两点，若原点到直线的距离为1，求
周长的取值范围.
：的长轴长为4，左，右焦点分别为，，上顶点为A，其中直线的斜率为.(1)求椭圆C的标准方程；
(2)已知直线
与椭圆C交于M，N两点，若原点到直线的距离为1，求周长的取值范围.
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解题方法
3 . 已知椭圆
的离心率为
，且过点
．若斜率为
的直线
与椭圆相切于点
，过直线上异于点的一点
，作斜率为
的直线
与椭圆交于
两点，定义
为点处的切割比，记为
．
(1)求的方程；
(2)证明：与点的坐标无关；
(3)若
，且
（
为坐标原点），则当
时，求直线的方程．
的离心率为，且过点．若斜率为的直线与椭圆相切于点，过直线上异于点的一点，作斜率为的直线与椭圆交于两点，定义为点处的切割比，记为．(1)求
的方程；(2)证明：
与点的坐标无关；(3)若
，且（为坐标原点），则当时，求直线的方程．
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4 . 已知双曲线
的上焦点为
，下顶点为，渐近线方程是
，过
点的直线交双曲线上支于
两点，
分别交直线
于
两点，为坐标原点.
(1)求的方程；
(2)求证：
四点共圆；
(3)求（2）中的圆的半径
的取值范围.
的上焦点为，下顶点为，渐近线方程是，过点的直线交双曲线上支于两点，分别交直线于两点，为坐标原点.(1)求
的方程；(2)求证：
四点共圆；(3)求（2）中的圆的半径
的取值范围.
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5 . 已知椭圆C：的短轴长为4，过右焦点F的动直线与C交于A，B两点，点A，B在x轴上的投影分别为
，
（在的左侧）；当直线的倾斜角为
时，线段的中点坐标为
.
(1)求的方程；
(2)若圆
：
，判断以线段
为直径的圆
与圆的位置关系，并说明理由；
(3)若直线
与直线
交于点M，
的面积为
，求直线的方程.
的短轴长为4，过右焦点F的动直线与C交于A，B两点，点A，B在x轴上的投影分别为，（在的左侧）；当直线的倾斜角为时，线段的中点坐标为.(1)求
的方程；(2)若圆
：，判断以线段为直径的圆与圆的位置关系，并说明理由；(3)若直线
与直线交于点M，的面积为，求直线的方程.
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解题方法
6 . 设抛物线C：
（
），直线l：
交C于A，B两点．过原点O作l的垂线，交直线
于点M．对任意
，直线AM，AB，BM的斜率成等差数列．
(1)求C的方程；
(2)若直线
，且
与C相切于点N，证明：
的面积不小于
．
（），直线l：交C于A，B两点．过原点O作l的垂线，交直线于点M．对任意，直线AM，AB，BM的斜率成等差数列．(1)求C的方程；
(2)若直线
，且与C相切于点N，证明：的面积不小于．
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2024-05-26更新
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2909次组卷
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5卷引用：安徽省六安第一中学2023-2024学年高三下学期期末质量检测卷（二）数学试题
安徽省六安第一中学2023-2024学年高三下学期期末质量检测卷（二）数学试题2024届广东省深圳市二模数学试题（已下线）第30题 几何分析曲径通幽，代数推演水到渠成（优质好题一题多解）（已下线）易错点8 圆锥曲线问题中未讨论直线斜率的特殊情况江西省南昌市八一中学2024届高三下学期三模测试数学试题
解题方法
7 . 已知椭圆的离心率为
，焦距为2，，分别为椭圆的左、右焦点，M为椭圆上异于长轴端点的一个动点，直线
，
与椭圆的另外一个交点分别为P，Q．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若点M在x轴上方，
，求直线MP的方程；
(3)设
，
的面积分别为
，
，求
的取值范围．
的离心率为，焦距为2，，分别为椭圆的左、右焦点，M为椭圆上异于长轴端点的一个动点，直线，与椭圆的另外一个交点分别为P，Q．(1)求椭圆的标准方程；
(2)若点M在x轴上方，
，求直线MP的方程；(3)设
，的面积分别为，，求的取值范围．
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解题方法
8 . 在平面直角坐标系xOy中，抛物线
：
的焦点为F，点
，
，
在抛物线上，直线
，
，
的斜率分别为，，
．
(1)若F为
的重心，求证：
为定值；
(2)若F为的垂心，求证：为定值．
：的焦点为F，点，，在抛物线上，直线，，的斜率分别为，，．(1)若F为
的重心，求证：为定值；(2)若F为
的垂心，求证：为定值．
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9 . 设圆
的圆心为，直线过点
且与轴不重合，交圆于
两点，过作
的平行线交于点.
(1)设动点的轨迹为曲线，求曲线的方程；
(2)曲线与轴交于
.点
在点的右侧，直线
交曲线于点两点
不过点
，直线
与直线
的斜率分别是
且
，直线
和直线
交于点
.
①探究直线是否过定点，若过定点求出该点坐标，若不过定点请说明理由；
②证明：
为定值，并求出该定值.
的圆心为，直线过点且与轴不重合，交圆于两点，过作的平行线交于点.(1)设动点
的轨迹为曲线，求曲线的方程；(2)曲线
与轴交于.点在点的右侧，直线交曲线于点两点不过点，直线与直线的斜率分别是且，直线和直线交于点.①探究直线
是否过定点，若过定点求出该点坐标，若不过定点请说明理由；②证明：
为定值，并求出该定值.
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10 . 已知平面上一动点P到定点
的距离比到定直线
的距离小2023，记动点的轨迹为曲线
．
(1)求的方程；
(2)已知直线
与曲线交于M，N两点，是线段MN的中点，点在直线
上，且AT垂直于轴．设点在抛物线
上，BP，BQ是的两条切线，P，Q是切点．若
，且A，B位于轴两侧，求
的值．
的距离比到定直线的距离小2023，记动点的轨迹为曲线．(1)求
的方程；(2)已知直线
与曲线交于M，N两点，是线段MN的中点，点在直线上，且AT垂直于轴．设点在抛物线上，BP，BQ是的两条切线，P，Q是切点．若，且A，B位于轴两侧，求的值．
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