1 . 已知椭圆的对称中心为坐标原点，焦点在轴上，的离心率为，且过点 ， 等轴双曲线以的焦点为顶点，动点在的右支上且异于顶点.

(1)求与的方程;
(2)设直线的斜率分别为，直线与相交于点，直线与相交于点. 是否存在常数使得，若存在求出的值，若不存在，请说明理由.

2 . 如图，在直三棱柱中，，，分别为，的中点，为线段上异于端点的一点.

(1)求点到平面的距离；
(2)若平面与平面的夹角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值．

3 . 在平面中，，.为平面内一动点，且直线与的斜率乘积为，动点在平面的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程
(2)若为直线上任意一点，直线，分别交曲线为、.在直线上存在一点，且.问：在平面内是否存在一点，使得为定值？若存在，求出定值.若不存在，请说明理由.

4 . 如图，已知椭圆（）的左，右顶点分别为，，椭圆的长轴长为4，椭圆上的点到焦点的最大距离为，为坐标原点.

(1)求椭圆的方程；
(2)设过点的直线，与椭圆分别交于点，，其中，证明：直线过定点，并求出定点坐标；

6 . 已知双曲线过点，且离心率为.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)设过点且斜率不为0的直线与双曲线的左右两支交于，两点.问：在轴上是否存在定点，使直线的斜率与的斜率的积为定值？若存在，求出该定点坐标；若不存在，请说明理由.

8 . 如图，双曲线的左､右焦点，分别为双曲线的左､右顶点，过点的直线分别交双曲线的左､右两支于两点，交双曲线的右支于点（与点不重合），且与的周长之差为2.

(1)求双曲线的方程；
(2)若直线交双曲线的右支于两点.
①记直线的斜率为，直线的斜率为，求的值；
②试探究：是否为定值？并说明理由.

9 . 如图，点在圆上运动且满足轴，垂足为点，点在线段上，且，动点的轨迹为．

(1)求曲线的方程；
(2)已知，过的动直线交曲线于两点（点在轴上方）分别为直线与轴的交点，是否存在实数使得？说明理由．

10 . 已知双曲线的左，右焦点分别为，双曲线C的虚轴长为2，有一条渐近线方程为．如图，点A是双曲线C上位于第一象限内的点，过点A作直线l与双曲线的右支交于另外一点B，连接并延长交双曲线左支于点P，连接与，其中l垂直于的平分线m，垂足为D．

(1)求双曲线C的标准方程；
(2)求证：直线m与直线的斜率之积为定值；
(3)求的最小值．