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解题方法
1 . 在空间直角坐标系
中，过点
且以
为方向向量的直线方程可表示为
，过点且以为法向量的平面方程可表示为
．
(1)若直线
与
都在平面
内，求平面的方程；
(2)在三棱柱
中，点
与坐标原点
重合，点
在平面
内，平面
以
为法向量，平面
的方程为
，求点的坐标；
(3)若集合
中所有的点构成了多面体
的各个面，求的体积和相邻两个面所在平面的夹角的余弦值．
中，过点且以为方向向量的直线方程可表示为，过点且以为法向量的平面方程可表示为．(1)若直线
与都在平面内，求平面的方程；(2)在三棱柱
中，点与坐标原点重合，点在平面内，平面以为法向量，平面的方程为，求点的坐标；(3)若集合
中所有的点构成了多面体的各个面，求的体积和相邻两个面所在平面的夹角的余弦值．
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2 . 已知集合
，其中
，由中元素可构成两个点集
和
：
，
，其中中有
个元素，中有
个元素．新定义1个性质
：若对任意的
，必有
，则称集合具有性质．
(1)已知集合
与集合
和集合
，判断它们是否具有性质，若有，则直接写出其对应的集合，；若无，请说明理由；
(2)集合具有性质，若
，求：集合最多有几个元素？
(3)试判断：集合具有性质是
的什么条件，并证明．
，其中，由中元素可构成两个点集和：，，其中中有个元素，中有个元素．新定义1个性质：若对任意的，必有，则称集合具有性质．(1)已知集合
与集合和集合，判断它们是否具有性质，若有，则直接写出其对应的集合，；若无，请说明理由；(2)集合
具有性质，若，求：集合最多有几个元素？(3)试判断：集合
具有性质是的什么条件，并证明．
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解题方法
3 . 已知双曲线
的焦距为4，离心率为2，
，
分别为C的左、右焦点，两点
，
都在C上.
(1)求C的方程；
(2)若
，求直线AB的方程；
(3)若
，且
，
，求四个点A，B，，所构成四边形的面积的最小值.
的焦距为4，离心率为2，，分别为C的左、右焦点，两点，都在C上.(1)求C的方程；
(2)若
，求直线AB的方程；(3)若
，且，，求四个点A，B，，所构成四边形的面积的最小值.
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解题方法
4 . 若一个椭圆的焦距为质数，且离心率的倒数也为质数，则称这样的椭圆为“质朴椭圆”.
(1)证明：椭圆
为“质朴椭圆”.
(2)是否存在实数，使得椭圆
为“质朴椭圆”？若存在，求的值；若不存在，说明理由.
(3)设斜率为
的直线
经过椭圆
的右焦点，且与交于，
两点，
，试问是否为“质朴椭圆”，说明你的理由.
(1)证明：椭圆
为“质朴椭圆”.(2)是否存在实数
，使得椭圆为“质朴椭圆”？若存在，求的值；若不存在，说明理由.(3)设斜率为
的直线经过椭圆的右焦点，且与交于，两点，，试问是否为“质朴椭圆”，说明你的理由.
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解题方法
5 . 已知双曲线
的两条渐近线方程为
为上一点．
(1)求双曲线的方程；
(2)若过点的直线与仅有1个公共点，求的方程；
(3)过双曲线的右焦点
作两条互相垂直的直线
，
，且与交于
两点，记
的中点
与交于
两点，记
的中点为
．若
，求点到直线
的距离的最大值．
的两条渐近线方程为为上一点．(1)求双曲线
的方程；(2)若过点
的直线与仅有1个公共点，求的方程；(3)过双曲线
的右焦点作两条互相垂直的直线，，且与交于两点，记的中点与交于两点，记的中点为．若，求点到直线的距离的最大值．
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6 . 椭圆与椭圆
：
有相同的焦点，且经过点
.
(1)求椭圆的方程；
(2)椭圆的右焦点为，设动直线与坐标轴不垂直，与椭圆交于不同的
，
两点，且直线
和
的斜率互为相反数.
①证明：动直线恒过
轴上的某个定点，并求出该定点的坐标；
②求
面积的最大值.
与椭圆：有相同的焦点，且经过点.(1)求椭圆
的方程；(2)椭圆
的右焦点为，设动直线与坐标轴不垂直，与椭圆交于不同的，两点，且直线和的斜率互为相反数.①证明：动直线
恒过轴上的某个定点，并求出该定点的坐标；②求
面积的最大值.
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1410次组卷
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2卷引用：湖南省株洲市第二中学2024-2025学年高二上学期第一次月考（10月）数学试题
7 . 如图，已知点、分别是椭圆
的左、右焦点，点是负半轴上的一点，
，过点的直线与
交于点与点.
面积的最大值；
(2)设直线
的斜率为
和直线
的斜率为
，椭圆上是否存在点，使得
为定值，若存在，求出点与值，若不存在，请说明理由.
、分别是椭圆的左、右焦点，点是负半轴上的一点，，过点的直线与交于点与点.
面积的最大值；(2)设直线
的斜率为和直线的斜率为，椭圆上是否存在点，使得为定值，若存在，求出点与值，若不存在，请说明理由.
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解题方法
8 . 已知两个非零向量
，在空间任取一点，作
，则
叫做向量的夹角，记作
．定义
与
的“向量积”为：
是一个向量，它与向量都垂直，它的模
．如图，在四棱锥
中，底面
为矩形，
底面，
为线段
上一点，
．
的长；
(2)若为的中点，求二面角
的正弦值；
(3)若为线段上一点，且满足
，求
．
，在空间任取一点，作，则叫做向量的夹角，记作．定义与的“向量积”为：是一个向量，它与向量都垂直，它的模．如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，为线段上一点，．
的长；(2)若
为的中点，求二面角的正弦值；(3)若
为线段上一点，且满足，求．
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7日内更新
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474次组卷
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3卷引用：吉林省长春吉大附中实验学校2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试题
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9 . 已知椭圆
的离心率为
，左顶点与上顶点的距离为
.
(1)求椭圆的方程；
(2)点在椭圆上，且点不在轴上，线段
的垂直平分线与
轴相交于点，若
为等边三角形，求直线的方程.
的离心率为，左顶点与上顶点的距离为.(1)求椭圆
的方程；(2)点
在椭圆上，且点不在轴上，线段的垂直平分线与轴相交于点，若为等边三角形，求直线的方程.
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10 . “曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼
闵可夫斯基所创词汇，它是一种使用几何度量空间的几何用语，定义如下：在平面直角坐标中的任意两点
，
的曼哈顿距离为
.已知在四边形中，
，
，
，且
平分
，若将
沿线段
向上折叠，使二面角
为直二面角，如图所示，折叠后点在新图形中对应点记为
.
的大小；
(2)若
所在平面为，设
，且
，记点的轨迹为曲线
.
（i）判断是什么曲线，并求出对应的方程；
（ii）设为平面上过点且与直线垂直的直线，已知在直线上，在上，求
的最小值.
闵可夫斯基所创词汇，它是一种使用几何度量空间的几何用语，定义如下：在平面直角坐标中的任意两点，的曼哈顿距离为.已知在四边形中，，，，且平分，若将沿线段向上折叠，使二面角为直二面角，如图所示，折叠后点在新图形中对应点记为.
的大小；(2)若
所在平面为，设，且，记点的轨迹为曲线.（i）判断
是什么曲线，并求出对应的方程；（ii）设
为平面上过点且与直线垂直的直线，已知在直线上，在上，求的最小值.
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