1 . 已知圆与轴相切，圆心在直线上且在第一象限内，圆在直线上截得的弦长为．
(1)求圆的方程：
(2)已知线段的端点的横坐标为，端点在（1）中的圆上运动，线段与轴垂直，求线段的中点的轨迹方程．并判断点的轨迹是否为圆，若是，求出圆心和半径；若不是，判断点的轨迹是哪种曲线?（无需说明理由）．

2 . 在直角坐标系中，抛物线与直线交于两点，又在轴上，直线的斜率分别为．
(1)设到轴的距离分别为，证明：与的乘积为定值；
(2)当变化时，若总有，求的值．

3 . 在平面直角坐标系中，点，点，点P是平面内一动点，且直线的斜率与直线的斜率之积为，记点P的轨迹为曲线C．
(1)求C的方程，并说明C是什么曲线；
(2)过点的直线l与C交于A，B两点，则在x轴上是否存在定点D，使得的值为定值？若存在，求出点D的坐标和该定值；若不存在，请说明理由．

4 . 已知抛物线C的顶点为坐标原点，焦点在y轴上，且抛物线C经过点．
(1)求抛物线C的方程；
(2)A，B是抛物线C上异于点P的两个动点，记直线和直线的斜率分别为，若，求证：直线过定点．

5 . 如图，在多面体中，，H为的中点，且平面．

(1)证明：平面；
(2)若，求与平面所成角的正弦值．

6 . 如图，在四棱锥中，．

(1)求证：平面平面；
(2)在线段上是否存在异于P，C的一点M，使平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出点M的位置；若不存在，请说明理由．

7 . 已知点是平面直角坐标系上的一个动点，点到直线的距离等于点到点的距离的2倍，记动点的轨迹为曲线．
(1)求曲线的方程；
(2)设点为曲线的上顶点，点是椭圆上异于点的任意两点，若直线与的斜率的乘积为常数，试判断直线是否经过定点，若经过定点，请求出定点坐标；若不经过定点，请说明理由．

8 . 如图，正方体的棱长为，是正方形的中心，、分别是、的中点.

(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.

9 . 已知椭圆的离心率是，且点在椭圆上.
(1)求椭圆的方程；
(2)若过点的直线与椭圆相交于两个不同的点、，且，求（是坐标原点）的面积.

10 . 如图，四面体OABC各棱的棱长都是1，D，E分别是OC，AB的中点，记，，.

(1)用向量表示向量；
(2)求证.