1 . 如图，在三棱柱中，为的中点，，，，点在底面上的射影为点.
   
(1)求证：平面；
(2)若，求平面与平面所成角的正弦值.

2 . 如图，在直三棱柱中，，，.

(1)证明：平面平面；
(2)求二面角的大小.

3 . 如图，四棱锥中，底面ABCD为等腰梯形，，，且平面平面ABCD，.

(1)求证：；
(2)与平面所成的角为，求二面角的余弦值.

4 . 如图所示，直三棱柱的底面是边长为2的正三角形，且直三棱柱的体积为，点为的中点．

(1)证明：平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值．

5 . 求证：是一元二次方程的一个根的充要条件是.

6 . 如图，在梯形中，，，，将沿边翻折，使点翻折到点，且．

(1)证明：平面．
(2)若为线段的中点，求二面角的余弦值．

7 . 如图，在四棱锥中，已知底面是正方形，底面，且是棱上动点.

(1)若过C，D，E三点的平面与平面PAB的交线是，证明：
(2)线段上是否存在点，使二面角的余弦值是？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.

8 . 已知椭圆经过点，离心率为，动点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)求以为直径且被直线截得的弦长为的圆的方程；
(3)设是椭圆的右焦点，过点作的垂线与以为直径的圆交于点，证明线段的长为定值，并求出这个定值.

9 . 如图，三棱柱中，侧面BB₁C₁C是菱形，其对角线的交点为O，且AB=AC₁，AB⊥B₁C．

(1)求证：AO⊥平面BB₁C₁C；
(2)设∠B₁BC=60°，若直线A₁B₁与平面BB₁C₁C所成的角为45°，求二面角的余弦值．

10 . 已知椭圆与椭圆的离心率相同，且椭圆的焦距是椭圆的焦距的倍．
(1)求实数和的值；
(2)若梯形的顶点都在椭圆上，，，直线与直线相交于点．且点在椭圆上，证明直线恒过定点．