1 . 已知函数.
(1)讨论函数的零点个数；
(2)已知函数，当时，关于的方程有两个实根，求证：.（注：是自然对数的底数）

2 . 已知函数.
(1)当时，求在区间上的最值；
(2)若有两个不同的零点，证明：.

3 . 已知函数.
(1)若在上单调递减，求实数的取值范围；
(2)若，求证：.

4 . 已知，求证：

5 . 设函数在区间上的导函数为，且在上存在导函数（其中）.定义：若在区间上恒成立，则称函数在区间上为凸函数.已知，（）.
(1)判断函数在区间上是否为凸函数，说明理由；
(2)已知函数为上的凸函数，求的取值范围，并证明：函数图象上任意一点的切线总在的图象的上方；
(3)若，求函数（）的最小值.

6 . 已知函数（）.
(1)若，求的图象在处的切线方程；
(2)若有两个极值点，（）.
①求的取值范围；
②求证：.

7 . 已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)设，若，是的两个极值点，证明：．

8 . 已知函数 ，．
(1)若函数在定义域上单调递增，求的取值范围；
(2)若函数有两个极值点．
（i）求的取值范围；
（ii）证明：．

9 . 已知函数．
(1)若对恒成立，求的取值范围；
(2)当时，若关于的方程有三个不相等的实数根，，，且，求的取值范围，并证明：．

10 . 已知函数在处的切线方程为.
(1)求，的值；
(2)证明：在上单调递增.