1 . 已知函数，．
(1)若函数在R上单调递减，求a的取值范围；
(2)已知，，，，求证：；
(3)证明：．

2 . 证明：
(1)若，则；
(2)求证：当为正数时，.

3 . 已知函数 (是自然对数的底数，).
（I）证明：对，不等式恒成立；
（II）数列的前项和为，求证：．

4 . 固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线．1691年，莱布尼茨等得出“悬链线”方程为，其中为参数．当时，就是双曲余弦函数，类似地我们可以定义双曲正弦函数．它们与正、余弦函数有许多类似的性质．
(1)类比正、余弦函数导数之间的关系，，，请写出，具有的类似的性质（不需要证明）；
(2)当时，恒成立，求实数的取值范围；
(3)求的最小值．

5 . 已知函数，.
(1)求的单调区间和极小值；
(2)证明：当时，.

6 . 已知函数（，为自然对数的底数），是的导函数．
(1)当时，求证；
(2)是否存在正整数，使对一切恒成立?若存在，求出的最大值；若不存在，说明理由．

7 . 已知定义在上的函数.
(1)若为单调递增函数，求实数的取值范围；
(2)当时，证明：.

8 . 已知函数，，.
(1)若的最小值为0，求的值；
(2)当时，证明：方程在上有解.

9 . 已知函数．
(1)证明：；
(2)讨论的单调性，并证明：当时，．

10 . 已知函数，是的导函数，且．
(1)求实数的值，并证明函数在处取得极值；
(2)证明在每一个区间都有唯一零点．