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解题方法
1 . 曲率是曲线的重要性质，表征了曲线的“弯曲程度”，曲线曲率解释为曲线某点切线方向对弧长的转动率，设曲线
具有连续转动的切线，在点
处的曲率
，其中
为
的导函数，
为的导函数，已知
．
(1)
时，求在极值点处的曲率；
(2)
时，是否存在极值点，如存在，求出其极值点处的曲率；
(3)
，
，当，
曲率均为0时，自变量最小值分别为
，
，求证：
．
具有连续转动的切线，在点处的曲率，其中为的导函数，为的导函数，已知．(1)
时，求在极值点处的曲率；(2)
时，是否存在极值点，如存在，求出其极值点处的曲率；(3)
，，当，曲率均为0时，自变量最小值分别为，，求证：．
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解题方法
2 . 下列说法正确的是（ ）．
A．函数 在区间 的最小值为 |
B．函数 的图象关于点 中心对称 |
C．已知函数 ，若 时，都有 成立，则实数 的取值范围为 |
D．若 恒成立，则实数的取值范围为 |
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3 . 关于函数
有下列结论：
（1）函数存在最小值但没有最大值；
（2）函数存在两个零点，且两个零点的和小于1；
（3）函数存在唯一的极小值点，且
；
（4）函数存在唯一的极大值点，且
．
其中正确的是__________ ．（填写所有正确结论的编号）
有下列结论：（1）函数
存在最小值但没有最大值；（2）函数
存在两个零点，且两个零点的和小于1；（3）函数
存在唯一的极小值点，且；（4）函数
存在唯一的极大值点，且．其中正确的是
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解题方法
4 . 设复数
，其在复平面内对应点为
，且
，复数
，其在复平面内对应点为
，且
，若存在的轨迹上的两点
、
，使
，则的取值范围为__________ ．
，其在复平面内对应点为，且，复数，其在复平面内对应点为，且，若存在的轨迹上的两点、，使，则的取值范围为
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解题方法
5 . 已知函数
．
(1)证明：
；
(2)设函数
，若
恒成立，求
的最小值；
(3)若方程
有两个不相等的实根
，求证：
．
．(1)证明：
；(2)设函数
，若恒成立，求的最小值；(3)若方程
有两个不相等的实根，求证：．
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6 . 已知函数
与函数
的图象相交于
两点，且
，则（ ）
与函数的图象相交于两点，且，则（ ）A． | B． | C．直线 的斜率 | D． |
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7 . 已知
，下列不等式恒成立的是（ ）
，下列不等式恒成立的是（ ）A． | B． | C． | D． |
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解题方法
8 . 已知函数
，
．
(1)求函数在区间
上的最大值；
(2)若
，
恒成立，求实数a的取值范围．
，．(1)求函数
在区间上的最大值；(2)若
，恒成立，求实数a的取值范围．
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解题方法
9 . 悬链线的原理运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程.通过适当建立坐标系，悬链线可为双曲余弦函数
的图像，定义双曲正弦函数
.类比三角函数的性质:①平方关系:
，②导数关系:
.
(1)直接写出
具有的类似①、②的性质（不需要证明）：
(2)证明:当
时，
;
(3)求
的最小值.
的图像，定义双曲正弦函数.类比三角函数的性质:①平方关系:，②导数关系:.(1)直接写出
具有的类似①、②的性质（不需要证明）：(2)证明:当
时，;(3)求
的最小值.
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10 . 已知函数
.
(1)当
时，求函数
的极值；
(2)讨论函数的单调性；
(3)当时，记的最小值为
，求不等式
的解集.
.(1)当
时，求函数的极值；(2)讨论函数
的单调性；(3)当
时，记的最小值为，求不等式的解集.
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2024-04-15更新
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609次组卷
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2卷引用：黑龙江省两校（哈尔滨师范大学附属中学、大庆铁人中学）2023-2024学年高二下学期联合期中考试数学试卷
