真题
1 . 对于一个函数和一个点,令,若是取到最小值的点,则称是在的“最近点”.
(1)对于,求证:对于点,存在点,使得点是在的“最近点”;
(2)对于,请判断是否存在一个点,它是在的“最近点”,且直线与在点处的切线垂直;
(3)已知在定义域R上存在导函数,且函数 在定义域R上恒正,设点,.若对任意的,存在点同时是在的“最近点”,试判断的单调性.
(1)对于,求证:对于点,存在点,使得点是在的“最近点”;
(2)对于,请判断是否存在一个点,它是在的“最近点”,且直线与在点处的切线垂直;
(3)已知在定义域R上存在导函数,且函数 在定义域R上恒正,设点,.若对任意的,存在点同时是在的“最近点”,试判断的单调性.
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2 . 已知,是实数,1和是函数的两个极值点
(1)求,的值.
(2)设函数的导函数,求的极值点.
(3)设其中求函数的零点个数.
(1)求,的值.
(2)设函数的导函数,求的极值点.
(3)设其中求函数的零点个数.
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解题方法
3 . 已知函数,如果存在常数,对任意满足的实数,其中,都有不等式恒成立,则称函数是“绝对差有界函数”
(1)函数是“绝对差有界函数”,求常数的取值范围;
(2)对于函数,存在常数,对任意的,有恒成立,求证:函数为“绝对差有界函数”
(3)判断函数是不是“绝对差有界函数”?说明理由
(1)函数是“绝对差有界函数”,求常数的取值范围;
(2)对于函数,存在常数,对任意的,有恒成立,求证:函数为“绝对差有界函数”
(3)判断函数是不是“绝对差有界函数”?说明理由
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解题方法
4 . 设函数的定义域为D,对于区间,当且仅当函数满足以下①②两个性质中的任意一个时,则称区间是的一个“美好区间”.
性质①:对于任意,都有;性质②:对于任意,都有.
(1)已知,.分别判断区间和区间是否为函数的“美好区间”,并说明理由;
(2)已知且,若区间是函数的一个“美好区间”,求实数的取值范围;
(3)已知函数的定义域为,其图像是一条连续不断的曲线,且对于任意,都有.求证:函数存在“美好区间”,且存在,使得不属于函数的任意一个“美好区间”.
性质①:对于任意,都有;性质②:对于任意,都有.
(1)已知,.分别判断区间和区间是否为函数的“美好区间”,并说明理由;
(2)已知且,若区间是函数的一个“美好区间”,求实数的取值范围;
(3)已知函数的定义域为,其图像是一条连续不断的曲线,且对于任意,都有.求证:函数存在“美好区间”,且存在,使得不属于函数的任意一个“美好区间”.
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23-24高一下·上海·期末
解题方法
5 . 对于任意的复数,定义运算.
(1)集合,,,均为整数,试用列举法写出集合;
(2)若,为纯虚数,求的最小值;
(3)直线上是否存在整点(坐标,均为整数的点),使复数经运算后,对应的点也在直线上?若存在,求出所有的点;若不存在,请说明理由.
(1)集合,,,均为整数,试用列举法写出集合;
(2)若,为纯虚数,求的最小值;
(3)直线上是否存在整点(坐标,均为整数的点),使复数经运算后,对应的点也在直线上?若存在,求出所有的点;若不存在,请说明理由.
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解题方法
6 . 设定义域为的函数在上可导,导函数为.若区间及实数满足:对任意成立,则称函数为上的“函数”.
(1)判断是否为上的函数,说明理由;
(2)若实数满足:为上的函数,求的取值范围;
(3)已知函数存在最大值.对于::对任意与恒成立,:对任意正整数都是上的函数,问:是否为的充分条件?是否为的必要条件?证明你的结论.
(1)判断是否为上的函数,说明理由;
(2)若实数满足:为上的函数,求的取值范围;
(3)已知函数存在最大值.对于::对任意与恒成立,:对任意正整数都是上的函数,问:是否为的充分条件?是否为的必要条件?证明你的结论.
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7 . 已知定义在上的函数的表达式为,其所有的零点按从小到大的顺序组成数列().
(1)求函数在区间上的值域;
(2)求证:函数在区间()上有且仅有一个零点;
(3)求证:.
(1)求函数在区间上的值域;
(2)求证:函数在区间()上有且仅有一个零点;
(3)求证:.
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8 . 函数的表达式为.
(1)若,直线与曲线相切于点,求直线的方程;
(2)函数的最小正周期是,令,将函数的零点由小到大依次记为,证明:数列是严格减数列;
(3)已知定义在上的奇函数满足,对任意,当时,都有且.记,.当时,是否存在,使得成立?若存在,求出符合题意的;若不存在,请说明理由.
(1)若,直线与曲线相切于点,求直线的方程;
(2)函数的最小正周期是,令,将函数的零点由小到大依次记为,证明:数列是严格减数列;
(3)已知定义在上的奇函数满足,对任意,当时,都有且.记,.当时,是否存在,使得成立?若存在,求出符合题意的;若不存在,请说明理由.
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9 . 已知函数(为常数),记.
(1)若函数在处的切线过原点,求实数的值;
(2)对于正实数,求证:;
(3)当时,求证:.
(1)若函数在处的切线过原点,求实数的值;
(2)对于正实数,求证:;
(3)当时,求证:.
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10 . 对于定义在上的函数,若存在距离为的两条平行直线和,使得对任意的都有,则称函数有一个宽度为的通道,与分别叫做函数的通道下界与通道上界.
(1)若,请写出满足题意的一组通道宽度不超过3的通道下界与通道上界的直线方程;
(2)若,证明:存在宽度为2的通道;
(3)探究是否存在宽度为的通道?并说明理由.
(1)若,请写出满足题意的一组通道宽度不超过3的通道下界与通道上界的直线方程;
(2)若,证明:存在宽度为2的通道;
(3)探究是否存在宽度为的通道?并说明理由.
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2024-04-29更新
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605次组卷
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4卷引用:上海市南洋模范中学2023-2024学年高二下学期5月月考数学试卷
上海市南洋模范中学2023-2024学年高二下学期5月月考数学试卷湖南省邵阳市绥阳县2024届高三下学期冲刺(一)数学试卷(已下线)情境12 结论未知的证明命题(已下线)压轴题07三角函数与正余弦定理压轴题9题型汇总-1