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解题方法
1 . 青岛胶东国际机场的显著特点之一是弯曲曲线的运用，衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率．考察图所示的光滑曲线
上的曲线段
，其弧长为
，当动点从A沿曲线段运动到B点时，A点的切线
也随着转动到B点的切线
，记这两条切线之间的夹角为
（它等于的倾斜角与的倾斜角之差）．显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，弧长越小则弯曲程度越大，因此可以定义
为曲线段的平均曲率；显然当B越接近A，即越小，K就越能精确刻画曲线C在点A处的弯曲程度，因此定义曲线
在点
处的曲率计算公式为
，其中
．
的圆弧的平均曲率；
(2)已知函数
，求曲线的曲率的最大值；
(3)已知函数
，若
曲率为0时x的最小值分别为
，求证：
．
上的曲线段，其弧长为，当动点从A沿曲线段运动到B点时，A点的切线也随着转动到B点的切线，记这两条切线之间的夹角为（它等于的倾斜角与的倾斜角之差）．显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，弧长越小则弯曲程度越大，因此可以定义为曲线段的平均曲率；显然当B越接近A，即越小，K就越能精确刻画曲线C在点A处的弯曲程度，因此定义曲线在点处的曲率计算公式为，其中．
的圆弧的平均曲率；(2)已知函数
，求曲线的曲率的最大值；(3)已知函数
，若曲率为0时x的最小值分别为，求证：．
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2 . 若函数
存在唯一极值点，则实数
的取值范围是_______________ .
存在唯一极值点，则实数的取值范围是
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解题方法
3 . 已知
，
，则（ ）
，，则（ ）A．函数 在 上的最大值为3 | B． ， |
C．函数 在 上没有零点 | D．函数的极值点有2个 |
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4 . 已知函数
在
时取得极值.
(1)求函数
的单调区间；
(2)求函数在区间
上的最小值.
在时取得极值.(1)求函数
的单调区间；(2)求函数
在区间上的最小值.
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解题方法
5 . 刻画曲线的弯曲程度是几何研究的重要内容，曲线的曲率是针对曲线上某个点的切线方向角对弧长的转动率，曲线的曲率越大，表示曲线的弯曲程度越大.若记
，则函数
在点
处的曲率
.
(1)求曲线
在点
处的曲率；
(2)已知函数
，
，若存在
，
使得
的曲率为0，求证：
.
，则函数在点处的曲率.(1)求曲线
在点处的曲率；(2)已知函数
，，若存在，使得的曲率为0，求证：.
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6 . 若关于
的方程
有两个不同的实根，，且
，则实数
的取值范围为______ .
的方程有两个不同的实根，，且，则实数的取值范围为
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7 . 阅读材料一：“装错信封问题”是由数学家约翰·伯努利（Johann Bernoulli，1667～1748）的儿子丹尼尔·伯努利提出来的，大意如下：一个人写了
封不同的信及相应的个不同的信封，他把这封信都装错了信封，问都装错信封的这一情况有多少种？后来瑞士数学家欧拉（Leonhard Euler，1707～1783）给出了解答：记都装错封信的情况为
种，可以用全排列
减去有装正确的情况种数，结合容斥原理可得公式：
，其中
．
阅读材料二：英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式：当在
处阶可导，则有：
，注
表示的阶导数，该公式也称麦克劳林公式．阅读以上材料后请完成以下问题：
(1)求出
的值；
(2)估算
的大小（保留小数点后2位），并给出用
和表示的估计公式；
(3)求证：
，其中．
封不同的信及相应的个不同的信封，他把这封信都装错了信封，问都装错信封的这一情况有多少种？后来瑞士数学家欧拉（Leonhard Euler，1707～1783）给出了解答：记都装错封信的情况为种，可以用全排列减去有装正确的情况种数，结合容斥原理可得公式：，其中．阅读材料二：英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式：当
在处阶可导，则有：，注表示的阶导数，该公式也称麦克劳林公式．阅读以上材料后请完成以下问题：(1)求出
的值；(2)估算
的大小（保留小数点后2位），并给出用和表示的估计公式；(3)求证：
，其中．
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8 . 下列函数的图象与直线
相切于点
的是（ ）
相切于点的是（ ）A． | B． | C． | D． |
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9 . 已知函数
.
(1)若
，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)讨论的单调性.
.(1)若
，求曲线在点处的切线方程；(2)讨论
的单调性.
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10 . 下列结论正确的是（ ）
A． | B． | C． | D． |
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